कैलकुलस उदाहरण

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (t)}{\ln (2 e^{t} - 1)}$

चरण 1

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{t \to 0} \sin (t)}{lim_{t \to 0} \ln (2 e^{t} - 1)}$

चरण 1.1.2

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

$\frac{\sin (lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} \ln (2 e^{t} - 1)}$

चरण 1.1.2.2

$t$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $t$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{\sin (0)}{lim_{t \to 0} \ln (2 e^{t} - 1)}$

चरण 1.1.2.3

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{0}{lim_{t \to 0} \ln (2 e^{t} - 1)}$

चरण 1.1.3

भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1.1

लघुगणक के अंदर की सीमा को स्थानांतरित करें.

$\frac{0}{\ln (lim_{t \to 0} 2 e^{t} - 1)}$

चरण 1.1.3.1.2

जैसे-जैसे $t$ $0$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{0}{\ln (lim_{t \to 0} 2 e^{t} - lim_{t \to 0} 1)}$

चरण 1.1.3.1.3

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $t$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{0}{\ln (2 lim_{t \to 0} e^{t} - lim_{t \to 0} 1)}$

चरण 1.1.3.1.4

सीमा को घातांक में ले जाएँ.

$\frac{0}{\ln (2 e^{lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 1)}$

चरण 1.1.3.1.5

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $t$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{0}{\ln (2 e^{lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1)}$

चरण 1.1.3.2

$t$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $t$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{0}{\ln (2 e^{0} - 1 \cdot 1)}$

चरण 1.1.3.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.3.1.1

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$\frac{0}{\ln (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1)}$

चरण 1.1.3.3.1.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{0}{\ln (2 - 1 \cdot 1)}$

चरण 1.1.3.3.1.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{0}{\ln (2 - 1)}$

चरण 1.1.3.3.2

$2$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{0}{\ln (1)}$

चरण 1.1.3.3.3

$1$ का प्राकृतिक लघुगणक $0$ है.

$\frac{0}{0}$

चरण 1.1.3.3.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 1.1.3.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 1.1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 1.2

चूंकि $\frac{0}{0}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (t)}{\ln (2 e^{t} - 1)} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}{\frac{d}{d t} [\ln (2 e^{t} - 1)]}$

चरण 1.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}{\frac{d}{d t} [\ln (2 e^{t} - 1)]}$

चरण 1.3.2

$t$ के संबंध में $\sin (t)$ का व्युत्पन्न $\cos (t)$ है.

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{d}{d t} [\ln (2 e^{t} - 1)]}$

चरण 1.3.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = \ln (t)$ और $g (t) = 2 e^{t} - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 e^{t} - 1$ के रूप में सेट करें.

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]}$

चरण 1.3.3.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]}$

चरण 1.3.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 e^{t} - 1$ से बदलें.

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]}$

चरण 1.3.4

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $2 e^{t} - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [2 e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ है.

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} (\frac{d}{d t} [2 e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1])}$

चरण 1.3.5

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 e^{t}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [e^{t}]$ है.

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 \frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1])}$

चरण 1.3.6

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ $a^{t} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t} + \frac{d}{d t} [- 1])}$

चरण 1.3.7

चूंकि $t$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t} + 0)}$

चरण 1.3.8

$2 e^{t}$ और $0$ जोड़ें.

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t})}$

चरण 1.3.9

$2$ और $\frac{1}{2 e^{t} - 1}$ को मिलाएं.

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{2}{2 e^{t} - 1} e^{t}}$

चरण 1.3.10

$\frac{2}{2 e^{t} - 1}$ और $e^{t}$ को मिलाएं.

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{2 e^{t}}{2 e^{t} - 1}}$

चरण 1.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$lim_{t \to 0} \cos (t) \frac{2 e^{t} - 1}{2 e^{t}}$

चरण 1.5

$\cos (t)$ और $\frac{2 e^{t} - 1}{2 e^{t}}$ को मिलाएं.

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t) (2 e^{t} - 1)}{2 e^{t}}$

चरण 2

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{1}{2}$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $t$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{1}{2} lim_{t \to 0} \frac{\cos (t) (2 e^{t} - 1)}{e^{t}}$

चरण 2.2

जैसे ही $t$ $0$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{t \to 0} \cos (t) (2 e^{t} - 1)}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

चरण 2.3

जैसे ही $t$ $0$ की ओर आ रहा है, उत्पाद सीमा नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{t \to 0} \cos (t) \cdot lim_{t \to 0} 2 e^{t} - 1}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

चरण 2.4

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि कोज्या सतत है.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot lim_{t \to 0} 2 e^{t} - 1}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

चरण 2.5

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot (lim_{t \to 0} 2 e^{t} - lim_{t \to 0} 1)}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

चरण 2.6

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $t$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot (2 lim_{t \to 0} e^{t} - lim_{t \to 0} 1)}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

चरण 2.7

सीमा को घातांक में ले जाएँ.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot (2 e^{lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 1)}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

चरण 2.8

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $t$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot (2 e^{lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1)}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

चरण 2.9

सीमा को घातांक में ले जाएँ.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot (2 e^{lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1)}{e^{lim_{t \to 0} t}}$

चरण 3

$t$ की सभी घटनाओं के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$t$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $t$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) \cdot (2 e^{lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1)}{e^{lim_{t \to 0} t}}$

चरण 3.2

$t$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $t$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) \cdot (2 e^{0} - 1 \cdot 1)}{e^{lim_{t \to 0} t}}$

चरण 3.3

$t$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $t$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) \cdot (2 e^{0} - 1 \cdot 1)}{e^{0}}$

चरण 4

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

जोड़ना.

$\frac{1 (\cos (0) \cdot (2 e^{0} - 1 \cdot 1))}{2 e^{0}}$

चरण 4.2

$\cos (0)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\cos (0) (2 e^{0} - 1 \cdot 1)}{2 e^{0}}$

चरण 4.3

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$\frac{\cos (0) (2 e^{0} - 1 \cdot 1)}{2 \cdot 1}$

चरण 4.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$\frac{\cos (0) (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1)}{2 \cdot 1}$

चरण 4.4.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\cos (0) (2 - 1 \cdot 1)}{2 \cdot 1}$

चरण 4.4.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\cos (0) (2 - 1)}{2 \cdot 1}$

चरण 4.4.4

$2$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{\cos (0) \cdot 1}{2 \cdot 1}$

चरण 4.4.5

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

चरण 4.4.6

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 \cdot 1}$

चरण 4.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2}$

चरण 5

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{1}{2}$

दशमलव रूप:

$0.5$