कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{2 x + 4}{x^{2} + 9} d x$

चरण 1

भिन्न $\frac{2 x + 4}{x^{2} + 9}$ को दो भिन्नों में विभाजित करें.

$\int \frac{2 x}{x^{2} + 9} + \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

चरण 2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int \frac{2 x}{x^{2} + 9} d x + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

चरण 3

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int \frac{x}{x^{2} + 9} d x + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

चरण 4

मान लीजिए $u = x^{2} + 9$ .फिर $d u = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u = x^{2} + 9$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$x^{2} + 9$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

चरण 4.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 9$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

चरण 4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + \frac{d}{d x} [9]$

चरण 4.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $9$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $9$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 x + 0$

चरण 4.1.5

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 4.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

चरण 5.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \int \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

चरण 7.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

चरण 7.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

चरण 7.3

$\int \frac{1}{u} d u$ को $1$ से गुणा करें.

$\int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

चरण 8

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\ln (| u |) + C + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

चरण 9

चूँकि $4$ बटे $x$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| u |) + C + 4 \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x$

चरण 10

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$x^{2}$ और $9$ को पुन: क्रमित करें.

$\ln (| u |) + C + 4 \int \frac{1}{9 + x^{2}} d x$

चरण 10.2

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (| u |) + C + 4 \int \frac{1}{3^{2} + x^{2}} d x$

चरण 11

$x$ के संबंध में $\frac{1}{3^{2} + x^{2}}$ का इंटीग्रल $\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C$ है.

$\ln (| u |) + C + 4 (\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C)$

चरण 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{1}{3}$ और $\arctan (\frac{x}{3})$ को मिलाएं.

$\ln (| u |) + C + 4 (\frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3} + C)$

चरण 12.2

सरल करें.

$\ln (| u |) + \frac{4 \arctan (\frac{x}{3})}{3} + C$

चरण 13

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 9$ से बदलें.

$\ln (| x^{2} + 9 |) + \frac{4 \arctan (\frac{x}{3})}{3} + C$

चरण 14

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\ln (| x^{2} + 9 |) + \frac{4}{3} \arctan (\frac{1}{3} x) + C$