कैलकुलस उदाहरण

$\ln (x^{2} - x)$

चरण 1

$\ln (x^{2} - x)$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \ln (x^{2} - x)$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int \ln (x^{2} - x) d x$

चरण 4

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \ln (x^{2} - x)$ और $d v = 1$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\ln (x^{2} - x) x - \int x \frac{2 x - 1}{x (x - 1)} d x$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$x$ और $\frac{2 x - 1}{x (x - 1)}$ को मिलाएं.

$\ln (x^{2} - x) x - \int \frac{x (2 x - 1)}{x (x - 1)} d x$

चरण 5.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (x^{2} - x) x - \int \frac{x (2 x - 1)}{x (x - 1)} d x$

चरण 5.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (x^{2} - x) x - \int \frac{2 x - 1}{x - 1} d x$

चरण 6

$2 x - 1$ को $x - 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$1$

$2 x$

$1$

चरण 6.2

भाज्य $2 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$2$
	$x$	-	$1$		$2 x$	-	$1$

चरण 6.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$2$
$x$	-	$1$		$2 x$	-	$1$
			+	$2 x$	-	$2$

चरण 6.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $2 x - 2$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$2$
$x$	-	$1$		$2 x$	-	$1$
			-	$2 x$	+	$2$

चरण 6.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$2$
$x$	-	$1$		$2 x$	-	$1$
			-	$2 x$	+	$2$
					+	$1$

चरण 6.6

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\ln (x^{2} - x) x - \int 2 + \frac{1}{x - 1} d x$

चरण 7

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\ln (x^{2} - x) x - (\int 2 d x + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

चरण 8

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\ln (x^{2} - x) x - (2 x + C + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

चरण 9

मान लीजिए $u = x - 1$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

मान लें $u = x - 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$x - 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

चरण 9.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 9.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 9.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 9.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 9.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (x^{2} - x) x - (2 x + C + \int \frac{1}{u} d u)$

चरण 10

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\ln (x^{2} - x) x - (2 x + C + \ln (| u |) + C)$

चरण 11

सरल करें.

$\ln (x^{2} - x) x - 2 x - \ln (| u |) + C$

चरण 12

$u$ की सभी घटनाओं को $x - 1$ से बदलें.

$\ln (x^{2} - x) x - 2 x - \ln (| x - 1 |) + C$

चरण 13

उत्तर फलन $f (x) = \ln (x^{2} - x)$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $\ln (x^{2} - x) x - 2 x - \ln (| x - 1 |) + C$