कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{1}{2} \tan (2 x)$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{1}{2} \cdot \tan (2 x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ है.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

चरण 1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \tan (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 1.2.2

$u$ के संबंध में $\tan (u)$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (u)$ है.

$\frac{1}{2} (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$\sec^{2} (2 x)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\sec^{2} (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 1.3.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\sec^{2} (2 x)}{2} (2 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.3.3

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1

$2$ और $\frac{\sec^{2} (2 x)}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.3.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.3.2.2

$\sec^{2} (2 x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\sec^{2} (2 x) \cdot 1$

चरण 1.3.5

$\sec^{2} (2 x)$ को $1$ से गुणा करें.

$\sec^{2} (2 x)$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \sec (2 x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\sec (2 x)$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = \frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (2 x))$

चरण 2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f'' (x) = 2 u_{1} \frac{d}{d x} (\sec (2 x))$

चरण 2.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\sec (2 x)$ से बदलें.

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x))$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sec (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) (\frac{d}{d u (2)} (\sec (u_{2})) \frac{d}{d x} (2 x))$

चरण 2.2.2

$u_{2}$ के संबंध में $\sec (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ है.

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} (2 x))$

चरण 2.2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

चरण 2.3

$\sec (2 x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

चरण 2.4

$\sec (2 x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

चरण 2.5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = 2 {\sec (2 x)}^{1 + 1} (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

चरण 2.6

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (2 x) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

चरण 2.7

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

चरण 2.8

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (x)$

चरण 2.9

$f'' (x) = 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) \cdot 1$

चरण 2.10

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$\sec^{2} (2 x) = 0$

चरण 4

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$\sec (2 x) = \pm \sqrt{0}$

चरण 5

$\pm \sqrt{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\sec (2 x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

चरण 5.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\sec (2 x) = \pm 0$

चरण 5.3

जोड़ या घटाव $0$ , $0$ है.

$\sec (2 x) = 0$

चरण 6

कोटिज्या का परिसर $y \leq - 1$ और $y \geq 1$ है. चूंकि $0$ इस श्रेणी में नहीं आता है, इसलिए कोई हल नहीं है.

कोई हल नहीं

चरण 7

$x =$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$4 \sec^{2} (2) \tan (2)$

चरण 8

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\sec (2)$ का मान ज्ञात करें.

$4 \cdot {1.00060954}^{2} \tan (2)$

चरण 8.2

$1.00060954$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 \cdot 1.00121946 \tan (2)$

चरण 8.3

$4$ को $1.00121946$ से गुणा करें.

$4.00487784 \tan (2)$

चरण 8.4

$\tan (2)$ का मान ज्ञात करें.

$4.00487784 \cdot 0.03492076$

चरण 8.5

$4.00487784$ को $0.03492076$ से गुणा करें.

$0.13985341$

चरण 9

$x =$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x =$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 10

ये $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \tan (2 x)$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(, i s a (l o c a l) (m i n i m u m))$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

चरण 11