कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{a + b x^{2}}{\sqrt{3 a x + b x^{3}}} d a$

चरण 1

मान लीजिए $u = 3 a x + b x^{3}$ .फिर $d u = 3 x d a$ , तो $\frac{1}{3 x} d u = d a$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = 3 a x + b x^{3}$ . $\frac{d u}{d a}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$3 a x + b x^{3}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d a} [3 a x + b x^{3}]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $a$ के संबंध में $3 a x + b x^{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d a} [3 a x] + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$ है.

$\frac{d}{d a} [3 a x] + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d a} [3 a x]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 1.1.3.1

चूंकि $3 x$ , $a$ के संबंध में स्थिर है, $a$ के संबंध में $3 a x$ का व्युत्पन्न $3 x \frac{d}{d a} [a]$ है.

$3 x \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ $n a^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 x \cdot 1 + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$

चरण 1.1.3.3

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3 x + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$

चरण 1.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

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चरण 1.1.4.1

चूंकि $a$ के संबंध में $b x^{3}$ स्थिर है, $a$ के संबंध में $b x^{3}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 x + 0$

चरण 1.1.4.2

$3 x$ और $0$ जोड़ें.

$3 x$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{\frac{u}{3 x} - \frac{b x^{2}}{3} + b x^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

चरण 2

सरल करें.

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चरण 2.1

$b x^{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\int \frac{\frac{u}{3 x} - \frac{b x^{2}}{3} + b x^{2} \cdot \frac{3}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

चरण 2.2

$b x^{2}$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\int \frac{\frac{u}{3 x} - \frac{b x^{2}}{3} + \frac{b x^{2} \cdot 3}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

चरण 2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\int \frac{\frac{u}{3 x} + \frac{- b x^{2} + b x^{2} \cdot 3}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

चरण 2.4

$3$ को $b x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{\frac{u}{3 x} + \frac{- b x^{2} + 3 \cdot (b x^{2})}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

चरण 2.5

$- b x^{2}$ और $3 b x^{2}$ जोड़ें.

$\int \frac{\frac{u}{3 x} + \frac{2 b x^{2}}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

चरण 2.6

$\frac{\frac{u}{3 x} + \frac{2 b x^{2}}{3}}{\sqrt{u}}$ को $\frac{3 x}{3 x}$ से गुणा करें.

$\int \frac{3 x}{3 x} \cdot \frac{\frac{u}{3 x} + \frac{2 b x^{2}}{3}}{\sqrt{u}} \frac{1}{3 x} d u$

चरण 2.7

जोड़ना.

$\int \frac{3 x (\frac{u}{3 x} + \frac{2 b x^{2}}{3})}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

चरण 2.8

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int \frac{3 x \frac{u}{3 x} + 3 x \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

चरण 2.9

$3 x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

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चरण 2.9.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{3 x \frac{u}{3 x} + 3 x \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

चरण 2.9.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \frac{u + 3 x \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

चरण 2.10

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.10.1

$3 x$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{u + 3 (x) \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

चरण 2.10.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{u + 3 x \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

चरण 2.10.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \frac{u + x (2 b x^{2})}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

चरण 2.11

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{u + 2 b (x^{1} x^{2})}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

चरण 2.12

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int \frac{u + 2 b x^{1 + 2}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

चरण 2.13

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

चरण 2.14

$\frac{u + 2 b x^{3}}{3 x \sqrt{u}}$ को $\frac{1}{3 x}$ से गुणा करें.

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{3 x \sqrt{u} (3 x)} d u$

चरण 2.15

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 x \sqrt{u} x} d u$

चरण 2.16

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 (x^{1} x) \sqrt{u}} d u$

चरण 2.17

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 (x^{1} x^{1}) \sqrt{u}} d u$

चरण 2.18

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 x^{1 + 1} \sqrt{u}} d u$

चरण 2.19

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 x^{2} \sqrt{u}} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{9 x^{2}}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{9 x^{2}}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int \frac{u + 2 b x^{3}}{\sqrt{u}} d u$

चरण 4

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

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चरण 4.1

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int \frac{u + 2 b x^{3}}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

चरण 4.2

$u^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int (u + 2 b x^{3}) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

चरण 4.3

घातांक को ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

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चरण 4.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} \int (u + 2 b x^{3}) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

चरण 4.3.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int (u + 2 b x^{3}) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

चरण 4.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int (u + 2 b x^{3}) u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 5

$(u + 2 b x^{3}) u^{- \frac{1}{2}}$ का प्रसार करें.

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चरण 5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 5.2

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 5.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{1 - \frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 5.4

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 5.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{\frac{2 - 1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 5.6

$2$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{\frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 5.7

$u^{\frac{1}{2}}$ और $2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}}$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} + u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 6

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{9 x^{2}} (\int 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

चरण 7

चूँकि $2 b x^{3}$ बटे $u$ अचर है, $2 b x^{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{9 x^{2}} (2 b x^{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

चरण 8

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 u^{\frac{1}{2}}$ है.

$\frac{1}{9 x^{2}} (2 b x^{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

चरण 9

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$\frac{1}{9 x^{2}} (2 b x^{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{2}{3}$ और $u^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{9 x^{2}} (2 b x^{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C)$

चरण 10.2

सरल करें.

$\frac{1}{9 x^{2}} (4 b x^{3} u^{\frac{1}{2}} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

चरण 11

$u$ की सभी घटनाओं को $3 a x + b x^{3}$ से बदलें.

$\frac{1}{9 x^{2}} (4 b x^{3} {(3 a x + b x^{3})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 {(3 a x + b x^{3})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

चरण 12

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{9 x^{2}} (4 b x^{3} {(3 a x + b x^{3})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} {(3 a x + b x^{3})}^{\frac{3}{2}}) + C$