कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{x}{{(1 + 4 x)}^{2}} d x$

चरण 1

आंशिक भिन्न अपघटन का प्रयोग करके भिन्न लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

भिन्न को विघटित करें और सामान्य भाजक से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

भाजक में प्रत्येक कारक के लिए, भिन्न के रूप में कारक का उपयोग करके और न्यूमेरेटर के रूप में एक अज्ञात मान का उपयोग करके एक नया न्यूमेरेटर बनाएंं. चूँकि भाजक में गुणनखंड रैखिक है, इसलिए उसके स्थान पर एक ही चर डालें $A$ .

$\frac{A}{{(1 + 4 x)}^{2}}$

चरण 1.1.2

$\frac{A}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{B}{1 + 4 x}$

चरण 1.1.3

मूल व्यंजक के भाजक से समीकरण में प्रत्येक भिन्न को गुणा करें. इस स्थिति में, भाजक ${(1 + 4 x)}^{2}$ होगा.

$\frac{x {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{(A) {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

चरण 1.1.4

${(1 + 4 x)}^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{(A) {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

चरण 1.1.4.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{(A) {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

चरण 1.1.5

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.1

${(1 + 4 x)}^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \frac{A {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

चरण 1.1.5.1.2

$A$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = A + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

चरण 1.1.5.2

${(1 + 4 x)}^{2}$ और $1 + 4 x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.2.1

$(B) {(1 + 4 x)}^{2}$ में से $1 + 4 x$ का गुणनखंड करें.

$x = A + \frac{(1 + 4 x) (B (1 + 4 x))}{1 + 4 x}$

चरण 1.1.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.2.2.1

$1$ से गुणा करें.

$x = A + \frac{(1 + 4 x) (B (1 + 4 x))}{(1 + 4 x) \cdot 1}$

चरण 1.1.5.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = A + \frac{(1 + 4 x) (B (1 + 4 x))}{(1 + 4 x) \cdot 1}$

चरण 1.1.5.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = A + \frac{B (1 + 4 x)}{1}$

चरण 1.1.5.2.2.4

$B (1 + 4 x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = A + B (1 + 4 x)$

चरण 1.1.5.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x = A + B \cdot 1 + B (4 x)$

चरण 1.1.5.4

$B$ को $1$ से गुणा करें.

$x = A + B + B (4 x)$

चरण 1.1.5.5

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$x = A + B + 4 B x$

चरण 1.1.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.1

$B$ ले जाएं.

$x = A + B + 4 x B$

चरण 1.1.6.2

$B$ ले जाएं.

$x = A + 4 x B + B$

चरण 1.1.6.3

$A$ और $4 x B$ को पुन: क्रमित करें.

$x = 4 x B + A + B$

चरण 1.2

आंशिक भिन्न चर के लिए समीकरण बनाएंं और समीकरणों की प्रणाली स्थापित करने के लिए उनका उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

समीकरण के दोनों ओर के $x$ के पक्ष को समान करके आंशिक भिन्न चरों के लिए एक समीकरण बनाएंँ. समीकरण को समान बनाने के लिए समीकरण के दोनों ओर के तुल्यांकी पक्ष को समान होना होगा.

$1 = 4 B$

चरण 1.2.2

उन पदों, जिनमें $x$ न हो, के गुणांकों को समान करके आंशिक भिन्न चरों के लिए एक समीकरण बनाएंँ. समीकरण को समान बनाने के लिए समीकरण के दोनों ओर के तुल्यांकी पक्ष को समान होना चाहिए.

$0 = A + B$

चरण 1.2.3

आंशिक भिन्नों के गुणांक ज्ञात करने के लिए समीकरणों की प्रणाली सेट करें.

$1 = 4 B$

$0 = A + B$

$1 = 4 B$

$0 = A + B$

चरण 1.3

समीकरणों की प्रणाली को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$B$ के लिए $1 = 4 B$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1

समीकरण को $4 B = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 B = 1$

$0 = A + B$

चरण 1.3.1.2

$4 B = 1$ के प्रत्येक पद को $4$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.2.1

$4 B = 1$ के प्रत्येक पद को $4$ से विभाजित करें.

$\frac{4 B}{4} = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

चरण 1.3.1.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.2.2.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 B}{4} = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

चरण 1.3.1.2.2.1.2

$B$ को $1$ से विभाजित करें.

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

चरण 1.3.2

प्रत्येक समीकरण में $B$ की सभी घटनाओं को $\frac{1}{4}$ से बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

$B$ की सभी घटनाओं को $0 = A + B$ में $\frac{1}{4}$ से बदलें.

$0 = A + \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

चरण 1.3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$0 = A + \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

चरण 1.3.3

$A$ के लिए $0 = A + \frac{1}{4}$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1

समीकरण को $A + \frac{1}{4} = 0$ के रूप में फिर से लिखें.

$A + \frac{1}{4} = 0$

$B = \frac{1}{4}$

चरण 1.3.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{1}{4}$ घटाएं.

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

चरण 1.3.4

समीकरणों की प्रणाली को हल करें.

$A = - \frac{1}{4} B = \frac{1}{4}$

चरण 1.3.5

सभी हलों की सूची बनाएंं.

$A = - \frac{1}{4}, B = \frac{1}{4}$

चरण 1.4

$\frac{A}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{B}{1 + 4 x}$ में प्रत्येक आंशिक भिन्न गुणांक को $A$ और $B$ के मानों से बदलें.

$\frac{- \frac{1}{4}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{\frac{1}{4}}{1 + 4 x}$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{\frac{1}{4}}{1 + 4 x}$

चरण 1.5.2

$\frac{1}{{(1 + 4 x)}^{2}}$ को $\frac{1}{4}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{{(1 + 4 x)}^{2} \cdot 4} + \frac{\frac{1}{4}}{1 + 4 x}$

चरण 1.5.3

$4$ को ${(1 + 4 x)}^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{\frac{1}{4}}{1 + 4 x}$

चरण 1.5.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$- \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 + 4 x}$

चरण 1.5.5

$\frac{1}{4}$ को $\frac{1}{1 + 4 x}$ से गुणा करें.

$\int - \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

चरण 2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int - \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} d x + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

चरण 3

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} d x + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(1 + 4 x)}^{2}} d x) + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

चरण 5

मान लीजिए $u_{1} = 1 + 4 x$ .फिर $d u_{1} = 4 d x$ , तो $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u_{1} = 1 + 4 x$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$1 + 4 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 + 4 x]$

चरण 5.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + 4 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$

चरण 5.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [4 x]$

चरण 5.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$0 + 4 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 5.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 + 4 \cdot 1$

चरण 5.1.3.3

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$0 + 4$

चरण 5.1.4

$0$ और $4$ जोड़ें.

$4$

चरण 5.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} \cdot \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{1}{{u_{1}}^{2}}$ को $\frac{1}{4}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2} \cdot 4} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

चरण 6.2

$4$ को ${u_{1}}^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{4 {u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}) + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

चरण 8

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$\frac{1}{4}$ को $\frac{1}{4}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{4 \cdot 4} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

चरण 8.1.2

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{16} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

चरण 8.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

${u_{1}}^{2}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$- \frac{1}{16} \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

चरण 8.2.2

घातांक को ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{16} \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

चरण 8.2.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{16} \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

चरण 9

घात नियम के अनुसार, $u_{1}$ के संबंध में ${u_{1}}^{- 2}$ का समाकलन $- {u_{1}}^{- 1}$ है.

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

चरण 10

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + 4 x} d x$

चरण 11

मान लीजिए $u_{2} = 1 + 4 x$ .फिर $d u_{2} = 4 d x$ , तो $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

मान लें $u_{2} = 1 + 4 x$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.1

$1 + 4 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 + 4 x]$

चरण 11.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + 4 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$

चरण 11.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [4 x]$

चरण 11.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.3.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$0 + 4 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 11.1.3.2

$0 + 4 \cdot 1$

चरण 11.1.3.3

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$0 + 4$

चरण 11.1.4

$0$ और $4$ जोड़ें.

$4$

चरण 11.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{4} d u_{2}$

चरण 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{1}{u_{2}}$ को $\frac{1}{4}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2} \cdot 4} d u_{2}$

चरण 12.2

$4$ को $u_{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{4 u_{2}} d u_{2}$

चरण 13

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

चरण 14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$\frac{1}{4}$ को $\frac{1}{4}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4 \cdot 4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 14.2

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{16} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 15

$u_{2}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{2}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{2} |)$ है.

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{16} (\ln (| u_{2} |) + C)$

चरण 16

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

सरल करें.

$- \frac{1}{16} (- \frac{1}{u_{1}}) + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

चरण 16.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 (\frac{1}{16}) \frac{1}{u_{1}} + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

चरण 16.2.2

$\frac{1}{16}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{u_{1}} + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

चरण 16.2.3

$\frac{1}{16}$ को $\frac{1}{u_{1}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{16 u_{1}} + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

चरण 17

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $1 + 4 x$ से बदलें.

$\frac{1}{16 (1 + 4 x)} + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

चरण 17.2

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $1 + 4 x$ से बदलें.

$\frac{1}{16 (1 + 4 x)} + \frac{1}{16} \ln (| 1 + 4 x |) + C$