कैलकुलस उदाहरण

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$

चरण 1

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}} d x$

चरण 4

मान लीजिए $x = \tan (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d x = \sec^{2} (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $\sec^{2} (t)$ सकारात्मक है.

$\int \frac{1}{\tan (t) \sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t$

चरण 5

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int \frac{1}{\tan (t) \sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

चरण 5.1.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int \frac{1}{\tan (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

चरण 5.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$\sec (t)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$\tan (t) \sec (t)$ में से $\sec (t)$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

चरण 5.2.1.2

$\sec^{2} (t)$ में से $\sec (t)$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

चरण 5.2.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

चरण 5.2.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{\tan (t)} \sec (t) d t$

चरण 5.2.2

$\frac{1}{\tan (t)}$ और $\sec (t)$ को मिलाएं.

$\int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} d t$

चरण 5.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\tan (t)$ को फिर से लिखें.

$\int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

चरण 5.2.3.2

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\sec (t)$ को फिर से लिखें.

$\int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

चरण 5.2.3.3

$\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

चरण 5.2.3.4

$\cos (t)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

चरण 5.2.3.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{\sin (t)} d t$

चरण 5.2.3.5

$\frac{1}{\sin (t)}$ को $\csc (t)$ में बदलें.

$\int \csc (t) d t$

चरण 6

$t$ के संबंध में $\csc (t)$ का इंटीग्रल $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ है.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

चरण 7

$t$ की सभी घटनाओं को $\arctan (x)$ से बदलें.

$\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + C$

चरण 8

उत्तर फलन $f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + C$