कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 5}{x + 3} d x$

चरण 1

$2 x^{3} + 4 x^{2} - 5$ को $x + 3$ से विभाजित करें.

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चरण 1.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$3$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

चरण 1.2

भाज्य $2 x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$

चरण 1.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			+	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

चरण 1.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $2 x^{3} + 6 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$2 x^{2}$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

चरण 1.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

चरण 1.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

चरण 1.7

भाज्य $- 2 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

चरण 1.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$6 x$

चरण 1.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 2 x^{2} - 6 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$

चरण 1.10

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$6 x$

चरण 1.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$6 x$	-	$5$

चरण 1.12

भाज्य $6 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$6$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$6 x$	-	$5$

चरण 1.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$6$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$6 x$	-	$5$
							+	$6 x$	+	$18$

चरण 1.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $6 x + 18$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$6$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$6 x$	-	$5$
							-	$6 x$	-	$18$

चरण 1.15

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$6$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$6 x$	-	$5$
							-	$6 x$	-	$18$
									-	$23$

चरण 1.16

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\int 2 x^{2} - 2 x + 6 - \frac{23}{x + 3} d x$

चरण 2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int 2 x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int 6 d x + \int - \frac{23}{x + 3} d x$

चरण 3

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int 6 d x + \int - \frac{23}{x + 3} d x$

चरण 4

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 2 x d x + \int 6 d x + \int - \frac{23}{x + 3} d x$

चरण 5

चूँकि $- 2$ बटे $x$ अचर है, $- 2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 \int x d x + \int 6 d x + \int - \frac{23}{x + 3} d x$

चरण 6

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 6 d x + \int - \frac{23}{x + 3} d x$

चरण 7

स्थिरांक नियम लागू करें.

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 x + C + \int - \frac{23}{x + 3} d x$

चरण 8

सरल करें.

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चरण 8.1

$\frac{1}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 x + C + \int - \frac{23}{x + 3} d x$

चरण 8.2

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 x + C + \int - \frac{23}{x + 3} d x$

चरण 9

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 x + C - \int \frac{23}{x + 3} d x$

चरण 10

चूँकि $23$ बटे $x$ अचर है, $23$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 x + C - (23 \int \frac{1}{x + 3} d x)$

चरण 11

$23$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 x + C - 23 \int \frac{1}{x + 3} d x$

चरण 12

मान लीजिए $u = x + 3$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 12.1

मान लें $u = x + 3$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 12.1.1

$x + 3$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

चरण 12.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 12.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 12.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 12.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 12.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 x + C - 23 \int \frac{1}{u} d u$

चरण 13

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 x + C - 23 (\ln (| u |) + C)$

चरण 14

सरल करें.

$\frac{2 x^{3}}{3} - x^{2} + 6 x - 23 \ln (| u |) + C$

चरण 15

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 3$ से बदलें.

$\frac{2 x^{3}}{3} - x^{2} + 6 x - 23 \ln (| x + 3 |) + C$

चरण 16

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{2}{3} x^{3} - x^{2} + 6 x - 23 \ln (| x + 3 |) + C$