कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x + 1}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = x + 1$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = x + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$x + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 1.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = x + 1$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 0 + 1$

चरण 1.3

$0$ और $1$ जोड़ें.

$u_{lower} = 1$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = x + 1$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 1 + 1$

चरण 1.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$u_{upper} = 2$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{1}^{2} \frac{u - 1}{\sqrt{u}} d u$

चरण 2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int_{1}^{2} \frac{u - 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

चरण 2.2

$u^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\int_{1}^{2} (u - 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

चरण 2.3

घातांक को ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{2} (u - 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

चरण 2.3.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\int_{1}^{2} (u - 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

चरण 2.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int_{1}^{2} (u - 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 3

$(u - 1) u^{- \frac{1}{2}}$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int_{1}^{2} u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 3.2

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int_{1}^{2} u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 3.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int_{1}^{2} u^{1 - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 3.4

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\int_{1}^{2} u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 3.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\int_{1}^{2} u^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 3.6

$2$ में से $1$ घटाएं.

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 4

$- 1 u^{- \frac{1}{2}}$ को $- u^{- \frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2}} - u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 5

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{1}^{2} - u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 6

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 7

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 8

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 u^{\frac{1}{2}}$ है.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2} - (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{2})$

चरण 9

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$2$ पर और $1$ पर $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{2})$

चरण 9.2

$2$ पर और $1$ पर $2 u^{\frac{1}{2}}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

चरण 9.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

$\frac{2}{3}$ और $2^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

चरण 9.3.2

घातांक जोड़कर $2$ को $2^{\frac{3}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.2.1

$2$ को $2^{\frac{3}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.2.1.1

$2$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

चरण 9.3.2.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

चरण 9.3.2.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

चरण 9.3.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

चरण 9.3.2.4

$2$ और $3$ जोड़ें.

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

चरण 9.3.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

चरण 9.3.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

चरण 9.3.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

चरण 9.3.6

घातांक जोड़कर $2$ को $2^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.6.1

$2$ को $2^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.6.1.1

$2$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

चरण 9.3.6.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{1 + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

चरण 9.3.6.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

चरण 9.3.6.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{2 + 1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

चरण 9.3.6.4

$2$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

चरण 9.3.7

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1)$

चरण 9.3.8

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{3}{2}} - 2)$

चरण 9.3.9

$- (2^{\frac{3}{2}} - 2)$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{3}{2}} - 2) \cdot \frac{3}{3}$

चरण 9.3.10

$- (2^{\frac{3}{2}} - 2)$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} + \frac{- (2^{\frac{3}{2}} - 2) \cdot 3}{3}$

चरण 9.3.11

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2 - (2^{\frac{3}{2}} - 2) \cdot 3}{3}$

चरण 9.3.12

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2 - 3 (2^{\frac{3}{2}} - 2)}{3}$

चरण 10

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2 - 3 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 3 \cdot - 2}{3}$

चरण 10.2

$- 3$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2 - 3 \cdot 2^{\frac{3}{2}} + 6}{3}$

चरण 10.3

$- 2$ और $6$ जोड़ें.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} + 4 - 3 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3}$

चरण 11

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{2^{\frac{5}{2}} + 4 - 3 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3}$

दशमलव रूप:

$0.39052429 \dots$

चरण 12