कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) e^{\sin (2 x)} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{2} = \sin (2 x)$ .फिर $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u_{2} = \sin (2 x)$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\sin (2 x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

चरण 1.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 1.1.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\sin (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{1})$ है.

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 1.1.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 1.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

चरण 1.1.3.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.3.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\cos (2 x) \cdot 2$

चरण 1.1.3.3.2

$2$ को $\cos (2 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \cos (2 x)$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u_{2} = \sin (2 x)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \sin (2 \cdot 0)$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = \sin (0)$

चरण 1.3.2

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$u_{lower} = 0$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u_{2} = \sin (2 x)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{4})$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

चरण 1.5.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

चरण 1.5.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

चरण 1.5.2

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$u_{upper} = 1$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

चरण 1.7

$u_{2}$ , $d u_{2}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{1} e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 2

$e^{u_{2}}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\int_{0}^{1} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

चरण 4

$u_{2}$ के संबंध में $e^{u_{2}}$ का इंटीग्रल $e^{u_{2}}$ है.

$\frac{1}{2} e^{u_{2}}]_{0}^{1}$

चरण 5

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$1$ पर और $0$ पर $e^{u_{2}}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{2} ((e^{1}) - e^{0})$

चरण 5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

सरल करें.

$\frac{1}{2} (e - e^{0})$

चरण 5.2.2

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$\frac{1}{2} (e - 1 \cdot 1)$

चरण 5.2.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (e - 1)$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{2} e + \frac{1}{2} \cdot - 1$

चरण 6.2

$\frac{1}{2}$ और $e$ को मिलाएं.

$\frac{e}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

चरण 6.3

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\frac{e}{2} + \frac{- 1}{2}$

चरण 6.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{e}{2} - \frac{1}{2}$

चरण 7

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{e}{2} - \frac{1}{2}$

दशमलव रूप:

$0.85914091 \dots$