कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{π} \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = 1 + \cos (x)$ .फिर $d u = - \sin (x) d x$ , तो $- d u = \sin (x) d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = 1 + \cos (x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$1 + \cos (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

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चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + \cos (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 1.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 1.1.3

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$0 - \sin (x)$

चरण 1.1.4

$0$ में से $\sin (x)$ घटाएं.

$- \sin (x)$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = 1 + \cos (x)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 1 + \cos (0)$

चरण 1.3

सरल करें.

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चरण 1.3.1

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$u_{lower} = 1 + 1$

चरण 1.3.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$u_{lower} = 2$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = 1 + \cos (x)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 1 + \cos (π)$

चरण 1.5

सरल करें.

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चरण 1.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

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चरण 1.5.1.1

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.

$u_{upper} = 1 - \cos (0)$

चरण 1.5.1.2

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

चरण 1.5.1.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{upper} = 1 - 1$

चरण 1.5.2

$1$ में से $1$ घटाएं.

$u_{upper} = 0$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 0$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{2}^{0} \frac{- 1}{u} d u$

चरण 2

भिन्न को अनेक भिन्नों में विभाजित करें.

$\int_{2}^{0} - \frac{1}{u} d u$

चरण 3

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int_{2}^{0} \frac{1}{u} d u$

चरण 4

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$- (\ln (| u |)]_{2}^{0})$

चरण 5

$0$ पर और $2$ पर $\ln (| u |)$ का मान ज्ञात करें.

$- (\ln (| 0 |) - \ln (| 2 |))$

चरण 6

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$- \ln (\frac{| 0 |}{| 2 |})$

चरण 7

सरल करें.

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चरण 7.1

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $0$ के बीच की दूरी $0$ है.

$- \ln (\frac{0}{| 2 |})$

चरण 7.2

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $2$ के बीच की दूरी $2$ है.

$- \ln (\frac{0}{2})$

चरण 7.3

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$- \ln (0)$

चरण 7.4

शून्य का प्राकृतिक लघुगणक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$- \ln (0)$

चरण 8

शून्य का प्राकृतिक लघुगणक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित