कैलकुलस उदाहरण

$e^{2 x} + \frac{1}{x + 1}$

चरण 1

$e^{2 x} + \frac{1}{x + 1}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = e^{2 x} + \frac{1}{x + 1}$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int e^{2 x} + \frac{1}{x + 1} d x$

चरण 4

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int e^{2 x} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

चरण 5

मान लीजिए $u_{1} = 2 x$ .फिर $d u_{1} = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u_{1} = 2 x$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 5.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 5.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 5.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 1} d x$

चरण 6

$e^{u_{1}}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 1} d x$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 1} d x$

चरण 8

$u_{1}$ के संबंध में $e^{u_{1}}$ का इंटीग्रल $e^{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + \int \frac{1}{x + 1} d x$

चरण 9

मान लीजिए $u_{2} = x + 1$ . फिर $d u_{2} = d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

मान लें $u_{2} = x + 1$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$x + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

चरण 9.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 9.1.3

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 9.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 9.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 9.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 10

$u_{2}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{2}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{2} |)$ है.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + \ln (| u_{2} |) + C$

चरण 11

सरल करें.

$\frac{1}{2} e^{u_{1}} + \ln (| u_{2} |) + C$

चरण 12

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{1}{2} e^{2 x} + \ln (| u_{2} |) + C$

चरण 12.2

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x + 1$ से बदलें.

$\frac{1}{2} e^{2 x} + \ln (| x + 1 |) + C$

चरण 13

उत्तर फलन $f (x) = e^{2 x} + \frac{1}{x + 1}$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + \ln (| x + 1 |) + C$