कैलकुलस उदाहरण

$\frac{{(x - 1)}^{3}}{x^{3}}$

चरण 1

$\frac{{(x - 1)}^{3}}{x^{3}}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \frac{{(x - 1)}^{3}}{x^{3}}$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int \frac{{(x - 1)}^{3}}{x^{3}} d x$

चरण 4

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x^{3}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\int {(x - 1)}^{3} {(x^{3})}^{- 1} d x$

चरण 4.2

घातांक को ${(x^{3})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(x - 1)}^{3} x^{3 \cdot - 1} d x$

चरण 4.2.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int {(x - 1)}^{3} x^{- 3} d x$

चरण 5

मान लीजिए $u_{1} = x - 1$ . फिर $d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u_{1} = x - 1$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$x - 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

चरण 5.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 5.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 5.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 5.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int {u_{1}}^{3} {(u_{1} + 1)}^{- 3} d u_{1}$

चरण 6

मान लीजिए $u_{2} = u_{1} + 1$ . फिर $d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

मान लें $u_{2} = u_{1} + 1$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$u_{1} + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

चरण 6.1.2

योग नियम के अनुसार, $u_{1}$ के संबंध में $u_{1} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ है.

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

चरण 6.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

चरण 6.1.4

चूंकि $u_{1}$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $u_{1}$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 6.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 6.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int {(u_{2} - 1)}^{3} {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

द्विपद प्रमेय का प्रयोग करें.

$\int ({u_{2}}^{3} + 3 {u_{2}}^{2} \cdot - 1 + 3 u_{2} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

चरण 7.2

एक गुणनफल के रूप में घातांक को फिर से लिखें.

$\int ({u_{2}}^{3} + 3 {u_{2}}^{2} \cdot - 1 + 3 u_{2} (- - 1) + {(- 1)}^{3}) {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

चरण 7.3

एक गुणनफल के रूप में घातांक को फिर से लिखें.

$\int ({u_{2}}^{3} + 3 {u_{2}}^{2} \cdot - 1 + 3 u_{2} (- - 1) - {(- 1)}^{2}) {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

चरण 7.4

एक गुणनफल के रूप में घातांक को फिर से लिखें.

$\int ({u_{2}}^{3} + 3 {u_{2}}^{2} \cdot - 1 + 3 u_{2} (- - 1) - - - 1) {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

चरण 7.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int ({u_{2}}^{3} + 3 {u_{2}}^{2} \cdot - 1 + 3 u_{2} (- - 1)) {u_{2}}^{- 3} - - - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

चरण 7.6

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int ({u_{2}}^{3} + 3 {u_{2}}^{2} \cdot - 1) {u_{2}}^{- 3} + 3 u_{2} (- - 1) {u_{2}}^{- 3} - - - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

चरण 7.7

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int {u_{2}}^{3} {u_{2}}^{- 3} + 3 {u_{2}}^{2} \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} + 3 u_{2} (- - 1) {u_{2}}^{- 3} - - - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

चरण 7.8

${u_{2}}^{2}$ ले जाएं.

$\int {u_{2}}^{3} {u_{2}}^{- 3} + 3 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{- 3} + 3 u_{2} (- - 1) {u_{2}}^{- 3} - - - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

चरण 7.9

$u_{2}$ ले जाएं.

$\int {u_{2}}^{3} {u_{2}}^{- 3} + 3 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{- 3} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- 3} - - - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

चरण 7.10

कोष्ठक ले जाएँ.

$\int {u_{2}}^{3} {u_{2}}^{- 3} + 3 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{- 3} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- 3} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

चरण 7.11

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int {u_{2}}^{3 - 3} + 3 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{- 3} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- 3} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

चरण 7.12

$3$ में से $3$ घटाएं.

$\int {u_{2}}^{0} + 3 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{- 3} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- 3} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

चरण 7.13

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$\int 1 + 3 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{- 3} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- 3} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

चरण 7.14

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int 1 - 3 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{- 3} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- 3} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

चरण 7.15

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int 1 - 3 {u_{2}}^{2 - 3} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- 3} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

चरण 7.16

$2$ में से $3$ घटाएं.

$\int 1 - 3 {u_{2}}^{- 1} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- 3} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

चरण 7.17

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int 1 - 3 {u_{2}}^{- 1} - 3 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- 3} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

चरण 7.18

$- 3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int 1 - 3 {u_{2}}^{- 1} + 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- 3} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

चरण 7.19

$u_{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int 1 - 3 {u_{2}}^{- 1} + 3 ({u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- 3}) - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

चरण 7.20

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int 1 - 3 {u_{2}}^{- 1} + 3 {u_{2}}^{1 - 3} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

चरण 7.21

$1$ में से $3$ घटाएं.

$\int 1 - 3 {u_{2}}^{- 1} + 3 {u_{2}}^{- 2} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

चरण 7.22

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int 1 - 3 {u_{2}}^{- 1} + 3 {u_{2}}^{- 2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

चरण 7.23

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\int 1 - 3 {u_{2}}^{- 1} + 3 {u_{2}}^{- 2} - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

चरण 7.24

$1$ और $- 3 {u_{2}}^{- 1}$ को पुन: क्रमित करें.

$\int - 3 {u_{2}}^{- 1} + 1 + 3 {u_{2}}^{- 2} - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

चरण 7.25

$1$ ले जाएं.

$\int - 3 {u_{2}}^{- 1} + 3 {u_{2}}^{- 2} + 1 - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

चरण 7.26

$1$ ले जाएं.

$\int - 3 {u_{2}}^{- 1} + 3 {u_{2}}^{- 2} - 1 {u_{2}}^{- 3} + 1 d u_{2}$

चरण 8

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int - 3 {u_{2}}^{- 1} d u_{2} + \int 3 {u_{2}}^{- 2} d u_{2} + \int - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2} + \int d u_{2}$

चरण 9

चूँकि $- 3$ बटे $u_{2}$ अचर है, $- 3$ को समाकलन से हटा दें.

$- 3 \int {u_{2}}^{- 1} d u_{2} + \int 3 {u_{2}}^{- 2} d u_{2} + \int - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2} + \int d u_{2}$

चरण 10

$u_{2}$ के संबंध में ${u_{2}}^{- 1}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{2} |)$ है.

$- 3 (\ln (| u_{2} |) + C) + \int 3 {u_{2}}^{- 2} d u_{2} + \int - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2} + \int d u_{2}$

चरण 11

चूँकि $3$ बटे $u_{2}$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$- 3 (\ln (| u_{2} |) + C) + 3 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2} + \int - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2} + \int d u_{2}$

चरण 12

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में ${u_{2}}^{- 2}$ का समाकलन $- {u_{2}}^{- 1}$ है.

$- 3 (\ln (| u_{2} |) + C) + 3 (- {u_{2}}^{- 1} + C) + \int - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2} + \int d u_{2}$

चरण 13

चूँकि $- 1$ बटे $u_{2}$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- 3 (\ln (| u_{2} |) + C) + 3 (- {u_{2}}^{- 1} + C) - \int {u_{2}}^{- 3} d u_{2} + \int d u_{2}$

चरण 14

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में ${u_{2}}^{- 3}$ का समाकलन $- \frac{1}{2} {u_{2}}^{- 2}$ है.

$- 3 (\ln (| u_{2} |) + C) + 3 (- {u_{2}}^{- 1} + C) - (- \frac{1}{2} {u_{2}}^{- 2} + C) + \int d u_{2}$

चरण 15

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

${u_{2}}^{- 2}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$- 3 (\ln (| u_{2} |) + C) + 3 (- {u_{2}}^{- 1} + C) - (- \frac{{u_{2}}^{- 2}}{2} + C) + \int d u_{2}$

चरण 15.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${u_{2}}^{- 2}$ को भाजक में ले जाएँ.

$- 3 (\ln (| u_{2} |) + C) + 3 (- {u_{2}}^{- 1} + C) - (- \frac{1}{2 {u_{2}}^{2}} + C) + \int d u_{2}$

चरण 16

स्थिरांक नियम लागू करें.

$- 3 (\ln (| u_{2} |) + C) + 3 (- {u_{2}}^{- 1} + C) - (- \frac{1}{2 {u_{2}}^{2}} + C) + u_{2} + C$

चरण 17

सरल करें.

$- 3 \ln (| u_{2} |) - \frac{3}{u_{2}} + \frac{1}{2 {u_{2}}^{2}} + u_{2} + C$

चरण 18

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $u_{1} + 1$ से बदलें.

$- 3 \ln (| u_{1} + 1 |) - \frac{3}{u_{1} + 1} + \frac{1}{2 {(u_{1} + 1)}^{2}} + u_{1} + 1 + C$

चरण 18.2

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x - 1$ से बदलें.

$- 3 \ln (| x - 1 + 1 |) - \frac{3}{x - 1 + 1} + \frac{1}{2 {(x - 1 + 1)}^{2}} + x - 1 + 1 + C$

चरण 19

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.1

$- 1$ और $1$ जोड़ें.

$- 3 \ln (| x + 0 |) - \frac{3}{x - 1 + 1} + \frac{1}{2 {(x - 1 + 1)}^{2}} + x - 1 + 1 + C$

चरण 19.2

$x$ और $0$ जोड़ें.

$- 3 \ln (| x |) - \frac{3}{x - 1 + 1} + \frac{1}{2 {(x - 1 + 1)}^{2}} + x - 1 + 1 + C$

चरण 19.3

$- 1$ और $1$ जोड़ें.

$- 3 \ln (| x |) - \frac{3}{x + 0} + \frac{1}{2 {(x - 1 + 1)}^{2}} + x - 1 + 1 + C$

चरण 19.4

$x$ और $0$ जोड़ें.

$- 3 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + \frac{1}{2 {(x - 1 + 1)}^{2}} + x - 1 + 1 + C$

चरण 19.5

$- 1$ और $1$ जोड़ें.

$- 3 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + \frac{1}{2 {(x + 0)}^{2}} + x - 1 + 1 + C$

चरण 19.6

$x$ और $0$ जोड़ें.

$- 3 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + \frac{1}{2 x^{2}} + x - 1 + 1 + C$

चरण 19.7

$- 1$ और $1$ जोड़ें.

$- 3 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + \frac{1}{2 x^{2}} + x + 0 + C$

चरण 19.8

$x$ और $0$ जोड़ें.

$- 3 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + \frac{1}{2 x^{2}} + x + C$

चरण 20

उत्तर फलन $f (x) = \frac{{(x - 1)}^{3}}{x^{3}}$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $- 3 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + \frac{1}{2 x^{2}} + x + C$