कैलकुलस उदाहरण

$y = 1 + 3 \sin (2 (x + \frac{π}{2}))$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + 3 \sin (2 (x + \frac{π}{2}))$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 \sin (2 (x + \frac{π}{2}))]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 \sin (2 (x + \frac{π}{2}))]$

चरण 1.1.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [3 \sin (2 (x + \frac{π}{2}))]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [3 \sin (2 (x + \frac{π}{2}))]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 \sin (2 (x + \frac{π}{2}))$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [\sin (2 (x + \frac{π}{2}))]$ है.

$0 + 3 \frac{d}{d x} [\sin (2 (x + \frac{π}{2}))]$

चरण 1.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 2 (x + \frac{π}{2})$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 (x + \frac{π}{2})$ के रूप में सेट करें.

$0 + 3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 (x + \frac{π}{2})])$

चरण 1.2.2.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$0 + 3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 (x + \frac{π}{2})])$

चरण 1.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 (x + \frac{π}{2})$ से बदलें.

$0 + 3 (\cos (2 (x + \frac{π}{2})) \frac{d}{d x} [2 (x + \frac{π}{2})])$

चरण 1.2.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 (x + \frac{π}{2})$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$ है.

$0 + 3 (\cos (2 (x + \frac{π}{2})) (2 \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]))$

चरण 1.2.4

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + \frac{π}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}]$ है.

$0 + 3 (\cos (2 (x + \frac{π}{2})) (2 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])))$

चरण 1.2.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 + 3 (\cos (2 (x + \frac{π}{2})) (2 (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])))$

चरण 1.2.6

चूंकि $x$ के संबंध में $\frac{π}{2}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{π}{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + 3 (\cos (2 (x + \frac{π}{2})) (2 (1 + 0)))$

चरण 1.2.7

$1$ और $0$ जोड़ें.

$0 + 3 (\cos (2 (x + \frac{π}{2})) (2 \cdot 1))$

चरण 1.2.8

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$0 + 3 (\cos (2 (x + \frac{π}{2})) \cdot 2)$

चरण 1.2.9

$2$ को $\cos (2 (x + \frac{π}{2}))$ के बाईं ओर ले जाएं.

$0 + 3 (2 \cdot \cos (2 (x + \frac{π}{2})))$

चरण 1.2.10

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$0 + 6 \cos (2 (x + \frac{π}{2}))$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$0 + 6 \cos (2 x + 2 \frac{π}{2})$

चरण 1.3.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

$2$ और $\frac{π}{2}$ को मिलाएं.

$0 + 6 \cos (2 x + \frac{2 π}{2})$

चरण 1.3.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$0 + 6 \cos (2 x + \frac{2 π}{2})$

चरण 1.3.2.2.2

$π$ को $1$ से विभाजित करें.

$0 + 6 \cos (2 x + π)$

चरण 1.3.2.3

$0$ और $6 \cos (2 x + π)$ जोड़ें.

$6 \cos (2 x + π)$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $6 \cos (2 x + π)$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [\cos (2 x + π)]$ है.

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\cos (2 x + π))$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 2 x + π$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x + π$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = 6 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x + π))$

चरण 2.2.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$f'' (x) = 6 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x + π))$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x + π$ से बदलें.

$f'' (x) = 6 (- \sin (2 x + π) \frac{d}{d x} (2 x + π))$

चरण 2.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$- 1$ को $6$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 6 (\sin (2 x + π) \frac{d}{d x} (2 x + π))$

चरण 2.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + π$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [π]$ है.

$f'' (x) = - 6 \sin (2 x + π) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (π))$

चरण 2.3.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = - 6 \sin (2 x + π) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (π))$

चरण 2.3.4

$f'' (x) = - 6 \sin (2 x + π) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (π))$

चरण 2.3.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 6 \sin (2 x + π) (2 + \frac{d}{d x} (π))$

चरण 2.3.6

चूंकि $x$ के संबंध में $π$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $π$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = - 6 \sin (2 x + π) (2 + 0)$

चरण 2.3.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.1

$2$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = - 6 \sin (2 x + π) \cdot 2$

चरण 2.3.7.2

$2$ को $- 6$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 12 \sin (2 x + π)$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$6 \cos (2 x + π) = 0$

चरण 4

$6 \cos (2 x + π) = 0$ के प्रत्येक पद को $6$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$6 \cos (2 x + π) = 0$ के प्रत्येक पद को $6$ से विभाजित करें.

$\frac{6 \cos (2 x + π)}{6} = \frac{0}{6}$

चरण 4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$6$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{6 \cos (2 x + π)}{6} = \frac{0}{6}$

चरण 4.2.1.2

$\cos (2 x + π)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\cos (2 x + π) = \frac{0}{6}$

चरण 4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$0$ को $6$ से विभाजित करें.

$\cos (2 x + π) = 0$

चरण 5

कोज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$2 x + π = \arccos (0)$

चरण 6

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\arccos (0)$ का सटीक मान $\frac{π}{2}$ है.

$2 x + π = \frac{π}{2}$

चरण 7

$x$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $π$ घटाएं.

$2 x = \frac{π}{2} - π$

चरण 7.2

$- π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$2 x = \frac{π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}$

चरण 7.3

$- π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$2 x = \frac{π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}$

चरण 7.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 x = \frac{π - π \cdot 2}{2}$

चरण 7.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 x = \frac{π - 2 π}{2}$

चरण 7.5.2

$π$ में से $2 π$ घटाएं.

$2 x = \frac{- π}{2}$

चरण 7.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$2 x = - \frac{π}{2}$

चरण 8

$2 x = - \frac{π}{2}$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$2 x = - \frac{π}{2}$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

चरण 8.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

चरण 8.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

चरण 8.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

चरण 8.3.2

$- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{π}{2}$ से गुणा करें.

$x = - \frac{π}{2 \cdot 2}$

चरण 8.3.2.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$x = - \frac{π}{4}$

चरण 9

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$2 x + π = 2 π - \frac{π}{2}$

चरण 10

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$2 π - \frac{π}{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$2 x + π = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 10.1.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.2.1

$2 π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$2 x + π = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 10.1.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 x + π = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

चरण 10.1.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.3.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$2 x + π = \frac{4 π - π}{2}$

चरण 10.1.3.2

$4 π$ में से $π$ घटाएं.

$2 x + π = \frac{3 π}{2}$

चरण 10.2

$x$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $π$ घटाएं.

$2 x = \frac{3 π}{2} - π$

चरण 10.2.2

$- π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$2 x = \frac{3 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}$

चरण 10.2.3

$- π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$2 x = \frac{3 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}$

चरण 10.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 x = \frac{3 π - π \cdot 2}{2}$

चरण 10.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.5.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 x = \frac{3 π - 2 π}{2}$

चरण 10.2.5.2

$3 π$ में से $2 π$ घटाएं.

$2 x = \frac{π}{2}$

चरण 10.3

$2 x = \frac{π}{2}$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.1

$2 x = \frac{π}{2}$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

चरण 10.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

चरण 10.3.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

चरण 10.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.3.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

चरण 10.3.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.3.2.1

$\frac{π}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

चरण 10.3.3.2.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{π}{4}$

चरण 11

समीकरण का हल $2 x + π = \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{4}, \frac{π}{4}$

चरण 12

$x = - \frac{π}{4}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- 12 \sin (2 (- \frac{π}{4}) + π)$

चरण 13

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.1.1

$- \frac{π}{4}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$- 12 \sin (2 \frac{- π}{4} + π)$

चरण 13.1.1.2

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- 12 \sin (2 \frac{- π}{2 (2)} + π)$

चरण 13.1.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- 12 \sin (2 \frac{- π}{2 \cdot 2} + π)$

चरण 13.1.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 12 \sin (\frac{- π}{2} + π)$

चरण 13.1.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- 12 \sin (- \frac{π}{2} + π)$

चरण 13.2

$π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$- 12 \sin (- \frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})$

चरण 13.3

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.1

$π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$- 12 \sin (- \frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})$

चरण 13.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- 12 \sin (\frac{- π + π \cdot 2}{2})$

चरण 13.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.4.1

$2$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- 12 \sin (\frac{- π + 2 \cdot π}{2})$

चरण 13.4.2

$- π$ और $2 π$ जोड़ें.

$- 12 \sin (\frac{π}{2})$

चरण 13.5

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$- 12 \cdot 1$

चरण 13.6

$- 12$ को $1$ से गुणा करें.

$- 12$

चरण 14

$x = - \frac{π}{4}$ एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = - \frac{π}{4}$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 15

$x = - \frac{π}{4}$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

व्यंजक में चर $x$ को $- \frac{π}{4}$ से बदलें.

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 ((- \frac{π}{4}) + \frac{π}{2}))$

चरण 15.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.1.1

$\frac{π}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (- \frac{π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}))$

चरण 15.2.1.2

प्रत्येक व्यंजक को $4$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.1.2.1

$\frac{π}{2}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (- \frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}))$

चरण 15.2.1.2.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (- \frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}))$

चरण 15.2.1.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{- π + π \cdot 2}{4}))$

चरण 15.2.1.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.1.4.1

$2$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{- π + 2 \cdot π}{4}))$

चरण 15.2.1.4.2

$- π$ और $2 π$ जोड़ें.

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π}{4}))$

चरण 15.2.1.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.1.5.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π}{2 (2)}))$

चरण 15.2.1.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}))$

चरण 15.2.1.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{π}{2})$

चरण 15.2.1.6

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \cdot 1$

चरण 15.2.1.7

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3$

चरण 15.2.2

$1$ और $3$ जोड़ें.

$f (- \frac{π}{4}) = 4$

चरण 15.2.3

अंतिम उत्तर $4$ है.

$y = 4$

चरण 16

$x = \frac{π}{4}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- 12 \sin (2 (\frac{π}{4}) + π)$

चरण 17

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- 12 \sin (2 \frac{π}{2 (2)} + π)$

चरण 17.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- 12 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2} + π)$

चरण 17.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 12 \sin (\frac{π}{2} + π)$

चरण 17.2

$π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$- 12 \sin (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})$

चरण 17.3

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.3.1

$π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$- 12 \sin (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})$

चरण 17.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- 12 \sin (\frac{π + π \cdot 2}{2})$

चरण 17.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.4.1

$2$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- 12 \sin (\frac{π + 2 \cdot π}{2})$

चरण 17.4.2

$π$ और $2 π$ जोड़ें.

$- 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

चरण 17.5

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि चौथे चतुर्थांश में ज्या ऋणात्मक है.

$- 12 (- \sin (\frac{π}{2}))$

चरण 17.6

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$- 12 (- 1 \cdot 1)$

चरण 17.7

$- 12 (- 1 \cdot 1)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.7.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 12 \cdot - 1$

चरण 17.7.2

$- 12$ को $- 1$ से गुणा करें.

$12$

चरण 18

$x = \frac{π}{4}$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = \frac{π}{4}$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 19

$x = \frac{π}{4}$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{π}{4}$ से बदलें.

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 ((\frac{π}{4}) + \frac{π}{2}))$

चरण 19.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.2.1.1

$\frac{π}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}))$

चरण 19.2.1.2

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.2.1.2.1

$\frac{π}{2}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}))$

चरण 19.2.1.2.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}))$

चरण 19.2.1.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π + π \cdot 2}{4}))$

चरण 19.2.1.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.2.1.4.1

$2$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π + 2 \cdot π}{4}))$

चरण 19.2.1.4.2

$π$ और $2 π$ जोड़ें.

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

चरण 19.2.1.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.2.1.5.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{3 π}{2 (2)}))$

चरण 19.2.1.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2}))$

चरण 19.2.1.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

चरण 19.2.1.6

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

चरण 19.2.1.7

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 (- 1 \cdot 1)$

चरण 19.2.1.8

$3 (- 1 \cdot 1)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.2.1.8.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \cdot - 1$

चरण 19.2.1.8.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (\frac{π}{4}) = 1 - 3$

चरण 19.2.2

$1$ में से $3$ घटाएं.

$f (\frac{π}{4}) = - 2$

चरण 19.2.3

अंतिम उत्तर $- 2$ है.

$y = - 2$

चरण 20

ये $f (x) = 1 + 3 \sin (2 (x + \frac{π}{2}))$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(- \frac{π}{4}, 4)$ एक स्थानीय उच्चत्तम है

$(\frac{π}{4}, - 2)$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

चरण 21