कैलकुलस उदाहरण

$y = x^{2^{x}}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2^{x}})$

चरण 2

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

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चरण 3.1

विभेदन को सरल बनाने के लिए लघुगणक के गुणों का उपयोग करें.

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चरण 3.1.1

$x^{2^{x}}$ को $e^{\ln (x^{2^{x}})}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{2^{x}})}]$

चरण 3.1.2

$2^{x}$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (x^{2^{x}})$ का प्रसार करें.

$\frac{d}{d x} [e^{2^{x} \ln (x)}]$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 2^{x} \ln (x)$ है.

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चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2^{x} \ln (x)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2^{x} \ln (x)]$

चरण 3.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u} \frac{d}{d x} [2^{x} \ln (x)]$

चरण 3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2^{x} \ln (x)$ से बदलें.

$e^{2^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [2^{x} \ln (x)]$

चरण 3.3

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = 2^{x}$ और $g (x) = \ln (x)$ है.

$e^{2^{x} \ln (x)} (2^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

चरण 3.4

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$e^{2^{x} \ln (x)} (2^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

चरण 3.5

$2^{x}$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$e^{2^{x} \ln (x)} (\frac{2^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

चरण 3.6

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $2$ है.

$e^{2^{x} \ln (x)} (\frac{2^{x}}{x} + \ln (x) (2^{x} \ln (2)))$

चरण 3.7

सरल करें.

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चरण 3.7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$e^{2^{x} \ln (x)} \frac{2^{x}}{x} + e^{2^{x} \ln (x)} (\ln (x) (2^{x} \ln (2)))$

चरण 3.7.2

$e^{2^{x} \ln (x)}$ और $\frac{2^{x}}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{2^{x} \ln (x)} \cdot 2^{x}}{x} + e^{2^{x} \ln (x)} (\ln (x) (2^{x} \ln (2)))$

चरण 3.7.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$2^{x} e^{2^{x} \ln (x)} \ln (2) \ln (x) + \frac{e^{2^{x} \ln (x)} \cdot 2^{x}}{x}$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = 2^{x} e^{2^{x} \ln (x)} \ln (2) \ln (x) + \frac{e^{2^{x} \ln (x)} \cdot 2^{x}}{x}$

चरण 5

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = 2^{x} e^{2^{x} \ln (x)} \ln (2) \ln (x) + \frac{e^{2^{x} \ln (x)} \cdot 2^{x}}{x}$