कैलकुलस उदाहरण

$y = x {(2 x + 1)}^{4}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x {(2 x + 1)}^{4})$

चरण 2

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = {(2 x + 1)}^{4}$ है.

$x \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{4}] + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{4}$ और $g (x) = 2 x + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x + 1$ के रूप में सेट करें.

$x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x + 1$ से बदलें.

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.3.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.3.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} (2 + 0)) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.3.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.6.1

$2$ और $0$ जोड़ें.

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} \cdot 2) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.3.6.2

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$x (8 {(2 x + 1)}^{3}) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.3.7

$x (8 {(2 x + 1)}^{3}) + {(2 x + 1)}^{4} \cdot 1$

चरण 3.3.8

${(2 x + 1)}^{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$x (8 {(2 x + 1)}^{3}) + {(2 x + 1)}^{4}$

चरण 3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$x (8 {(2 x + 1)}^{3}) + {(2 x + 1)}^{4}$ में से ${(2 x + 1)}^{3}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1

$x (8 {(2 x + 1)}^{3})$ में से ${(2 x + 1)}^{3}$ का गुणनखंड करें.

${(2 x + 1)}^{3} (x \cdot (8)) + {(2 x + 1)}^{4}$

चरण 3.4.1.2

${(2 x + 1)}^{4}$ में से ${(2 x + 1)}^{3}$ का गुणनखंड करें.

${(2 x + 1)}^{3} (x \cdot (8)) + {(2 x + 1)}^{3} (2 x + 1)$

चरण 3.4.1.3

${(2 x + 1)}^{3} (x \cdot (8)) + {(2 x + 1)}^{3} (2 x + 1)$ में से ${(2 x + 1)}^{3}$ का गुणनखंड करें.

${(2 x + 1)}^{3} (x \cdot (8) + 2 x + 1)$

चरण 3.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

$8$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

${(2 x + 1)}^{3} (8 \cdot x + 2 x + 1)$

चरण 3.4.2.2

$8 x$ और $2 x$ जोड़ें.

${(2 x + 1)}^{3} (10 x + 1)$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = {(2 x + 1)}^{3} (10 x + 1)$

चरण 5

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = {(2 x + 1)}^{3} (10 x + 1)$