कैलकुलस उदाहरण

$1 + \sqrt{2 x}$

चरण 1

अवकलन करें.

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चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + \sqrt{2 x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}]$

चरण 1.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}]$

चरण 2

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 2.1

$\sqrt{2 x}$ को ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$0 + \frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2.2

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$0 + \frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2.3

उत्पाद नियम को $2 (x)$ पर लागू करें.

$0 + \frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2.4

चूंकि $2^{\frac{1}{2}}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ का व्युत्पन्न $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ है.

$0 + 2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$0 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

चरण 2.6

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$0 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

चरण 2.7

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$0 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 2.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$0 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 2.9

न्यूमेरेटर को सरल करें.

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चरण 2.9.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$0 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

चरण 2.9.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$0 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

चरण 2.10

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$0 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

चरण 2.11

$\frac{1}{2}$ और $x^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$0 + 2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

चरण 2.12

$2^{\frac{1}{2}}$ और $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$0 + \frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

चरण 2.13

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ का उपयोग करके $2^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$0 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

चरण 2.14

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$0 + \frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.15

घातांक जोड़कर $2$ को $2^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

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चरण 2.15.1

$2$ को $2^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

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चरण 2.15.1.1

$2$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$0 + \frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.15.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$0 + \frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.15.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$0 + \frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.15.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$0 + \frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.15.4

$2$ में से $1$ घटाएं.

$0 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 3

$0$ और $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ जोड़ें.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$