कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 3 \cos (\frac{x}{3}) + \sin (3 x)$

चरण 1

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 2

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int 3 \cos (\frac{x}{3}) + \sin (3 x) d x$

चरण 3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int 3 \cos (\frac{x}{3}) d x + \int \sin (3 x) d x$

चरण 4

चूँकि $3$ बटे $x$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$3 \int \cos (\frac{x}{3}) d x + \int \sin (3 x) d x$

चरण 5

मान लीजिए $u_{1} = \frac{x}{3}$ .फिर $d u_{1} = \frac{1}{3} d x$ , तो $3 d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u_{1} = \frac{x}{3}$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$\frac{x}{3}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

चरण 5.1.2

चूंकि $\frac{1}{3}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x}{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{3} \cdot 1$

चरण 5.1.4

$\frac{1}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3}$

चरण 5.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$3 \int \cos (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{1}{3}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$3 \int \cos (u_{1}) (1 \cdot 3) d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

चरण 6.2

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3 \int \cos (u_{1}) \cdot 3 d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

चरण 6.3

$3$ को $\cos (u_{1})$ के बाईं ओर ले जाएं.

$3 \int 3 \cos (u_{1}) d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

चरण 7

चूँकि $3$ बटे $u_{1}$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$3 (3 \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int \sin (3 x) d x$

चरण 8

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$9 \int \cos (u_{1}) d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

चरण 9

$u_{1}$ के संबंध में $\cos (u_{1})$ का इंटीग्रल $\sin (u_{1})$ है.

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \int \sin (3 x) d x$

चरण 10

मान लीजिए $u_{2} = 3 x$ .फिर $d u_{2} = 3 d x$ , तो $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

मान लें $u_{2} = 3 x$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

$3 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

चरण 10.1.2

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 10.1.3

$3 \cdot 1$

चरण 10.1.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3$

चरण 10.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \int \sin (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

चरण 11

$\sin (u_{2})$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \int \frac{\sin (u_{2})}{3} d u_{2}$

चरण 12

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \frac{1}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

चरण 13

$u_{2}$ के संबंध में $\sin (u_{2})$ का इंटीग्रल $- \cos (u_{2})$ है.

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \frac{1}{3} (- \cos (u_{2}) + C)$

चरण 14

सरल करें.

$9 \sin (u_{1}) - \frac{\cos (u_{2})}{3} + C$

चरण 15

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\frac{x}{3}$ से बदलें.

$9 \sin (\frac{x}{3}) - \frac{\cos (u_{2})}{3} + C$

चरण 15.2

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $3 x$ से बदलें.

$9 \sin (\frac{x}{3}) - \frac{\cos (3 x)}{3} + C$

चरण 16

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$9 \sin (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$

चरण 17

उत्तर फलन $f (x) = 3 \cos (\frac{x}{3}) + \sin (3 x)$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $9 \sin (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$