कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} d x$

चरण 1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

${(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$ को $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x)) d x$

चरण 1.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec (x) (\sec (x) + \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) + \tan (x)) d x$

चरण 1.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) (\sec (x) + \tan (x)) d x$

चरण 1.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

चरण 1.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1

$\sec (x) \sec (x)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1.1

$\sec (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{1} (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

चरण 1.3.1.1.2

$\sec (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

चरण 1.3.1.1.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {\sec (x)}^{1 + 1} + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

चरण 1.3.1.1.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

चरण 1.3.1.2

$\tan (x) \tan (x)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.2.1

$\tan (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) d x$

चरण 1.3.1.2.2

$\tan (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) d x$

चरण 1.3.1.2.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} d x$

चरण 1.3.1.2.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan^{2} (x) d x$

चरण 1.3.2

$\tan (x) \sec (x)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) d x$

चरण 1.3.3

$\sec (x) \tan (x)$ और $\sec (x) \tan (x)$ जोड़ें.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) d x$

चरण 2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{6}} 2 \sec (x) \tan (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{6}} \tan^{2} (x) d x$

चरण 3

चूंकि $\tan (x)$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (x)$ है, $\sec^{2} (x)$ का समाकलन $\tan (x)$ है.

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}} + \int_{0}^{\frac{π}{6}} 2 \sec (x) \tan (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{6}} \tan^{2} (x) d x$

चरण 4

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}} + 2 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec (x) \tan (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{6}} \tan^{2} (x) d x$

चरण 5

चूंकि $\sec (x)$ का व्युत्पन्न $\sec (x) \tan (x)$ है, $\sec (x) \tan (x)$ का समाकलन $\sec (x)$ है.

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}} + 2 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}) + \int_{0}^{\frac{π}{6}} \tan^{2} (x) d x$

चरण 6

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\tan^{2} (x)$ को $- 1 + \sec^{2} (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}} + 2 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}) + \int_{0}^{\frac{π}{6}} - 1 + \sec^{2} (x) d x$

चरण 7

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}} + 2 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}) + \int_{0}^{\frac{π}{6}} - 1 d x + \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) d x$

चरण 8

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}} + 2 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}) + - x]_{0}^{\frac{π}{6}} + \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) d x$

चरण 9

चूंकि $\tan (x)$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (x)$ है, $\sec^{2} (x)$ का समाकलन $\tan (x)$ है.

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}} + 2 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}) + - x]_{0}^{\frac{π}{6}} + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

चरण 10

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

$- x]_{0}^{\frac{π}{6}}$ और $\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$ को मिलाएं.

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}} + 2 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}) + - x + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

चरण 10.1.2

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$ और $- x + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$ को मिलाएं.

$2 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}) + \tan (x) - x + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

चरण 10.1.3

$\tan (x)$ और $\tan (x)$ जोड़ें.

$2 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}) + - x + 2 \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

चरण 10.2

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

$\frac{π}{6}$ पर और $0$ पर $\sec (x)$ का मान ज्ञात करें.

$2 ((\sec (\frac{π}{6})) - \sec (0)) + - x + 2 \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

चरण 10.2.2

$\frac{π}{6}$ पर और $0$ पर $- x + 2 \tan (x)$ का मान ज्ञात करें.

$2 ((\sec (\frac{π}{6})) - \sec (0)) + (- \frac{π}{6} + 2 \tan (\frac{π}{6})) - (- 0 + 2 \tan (0))$

चरण 10.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.1

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$2 (\sec (\frac{π}{6}) - \sec (0)) - \frac{π}{6} + 2 \tan (\frac{π}{6}) - (0 + 2 \tan (0))$

चरण 10.2.3.2

$0$ और $2 \tan (0)$ जोड़ें.

$2 (\sec (\frac{π}{6}) - \sec (0)) - \frac{π}{6} + 2 \tan (\frac{π}{6}) - (2 \tan (0))$

चरण 10.2.3.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 (\sec (\frac{π}{6}) - \sec (0)) - \frac{π}{6} + 2 \tan (\frac{π}{6}) - 2 \tan (0)$

चरण 10.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.1

$\sec (\frac{π}{6})$ का सटीक मान $\frac{2}{\sqrt{3}}$ है.

$2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - \sec (0)) - \frac{π}{6} + 2 \tan (\frac{π}{6}) - 2 \tan (0)$

चरण 10.3.2

$\sec (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1 \cdot 1) - \frac{π}{6} + 2 \tan (\frac{π}{6}) - 2 \tan (0)$

चरण 10.3.3

$\tan (\frac{π}{6})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{3}$ है.

$2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1 \cdot 1) - \frac{π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \tan (0)$

चरण 10.3.4

$\tan (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1 \cdot 1) - \frac{π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \cdot 0$

चरण 10.3.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) - \frac{π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \cdot 0$

चरण 10.3.6

$2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1)$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{6}{6}$ से गुणा करें.

$2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \cdot 0$

चरण 10.3.7

$2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1)$ और $\frac{6}{6}$ को मिलाएं.

$\frac{2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) \cdot 6}{6} - \frac{π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \cdot 0$

चरण 10.3.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) \cdot 6 - π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \cdot 0$

चरण 10.3.9

$6$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{12 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) - π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \cdot 0$

चरण 10.3.10

$2$ और $\frac{\sqrt{3}}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{12 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) - π}{6} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 2 \cdot 0$

चरण 10.3.11

$- 2$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{12 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) - π}{6} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 0$

चरण 10.3.12

$\frac{12 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) - π}{6} + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{12 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) - π}{6} + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

चरण 11

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{12 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) - π}{6} + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

दशमलव रूप:

$0.94050283 \dots$