कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{x + 8 x^{2}}{x^{2} - \frac{1}{64}}$

चरण 1

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$x^{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{64}{64}$ से गुणा करें.

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{x + 8 x^{2}}{x^{2} \cdot \frac{64}{64} - \frac{1}{64}}$

चरण 1.2

$x^{2}$ और $\frac{64}{64}$ को मिलाएं.

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{x + 8 x^{2}}{\frac{x^{2} \cdot 64}{64} - \frac{1}{64}}$

चरण 1.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{x + 8 x^{2}}{\frac{x^{2} \cdot 64 - 1}{64}}$

चरण 2

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

सीमा तर्क को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} (x + 8 x^{2}) \frac{64}{x^{2} \cdot 64 - 1}$

चरण 2.1.2

$x + 8 x^{2}$ को $\frac{64}{x^{2} \cdot 64 - 1}$ से गुणा करें.

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{(x + 8 x^{2}) \cdot 64}{x^{2} \cdot 64 - 1}$

चरण 2.2

$64$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{x + 8 x^{2}}{x^{2} \cdot 64 - 1}$

चरण 3

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$64 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + 8 x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

चरण 3.1.2

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

जैसे-जैसे $x$ $- \frac{1}{8}$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$64 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + lim_{x \to - \frac{1}{8}} 8 x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

चरण 3.1.2.2

$8$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$64 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + 8 lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

चरण 3.1.2.3

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $2$ को $x^{2}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$64 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + 8 {(lim_{x \to - \frac{1}{8}} x)}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

चरण 3.1.2.4

$x$ की सभी घटनाओं के लिए $- \frac{1}{8}$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.4.1

$x$ के लिए $- \frac{1}{8}$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 {(lim_{x \to - \frac{1}{8}} x)}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

चरण 3.1.2.4.2

$x$ के लिए $- \frac{1}{8}$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 {(- \frac{1}{8})}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

चरण 3.1.2.5

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.5.1.1

घातांक वितरण करने के लिए घात नियम ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.5.1.1.1

उत्पाद नियम को $- \frac{1}{8}$ पर लागू करें.

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{8})}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

चरण 3.1.2.5.1.1.2

उत्पाद नियम को $\frac{1}{8}$ पर लागू करें.

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{8^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

चरण 3.1.2.5.1.2

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 \cdot 1 \frac{1^{2}}{8^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

चरण 3.1.2.5.1.3

$\frac{1^{2}}{8^{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 \frac{1^{2}}{8^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

चरण 3.1.2.5.1.4

$8$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.5.1.4.1

$8^{2}$ में से $8$ का गुणनखंड करें.

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 \frac{1^{2}}{8 \cdot 8}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

चरण 3.1.2.5.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 \frac{1^{2}}{8 \cdot 8}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

चरण 3.1.2.5.1.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$64 \frac{- \frac{1}{8} + \frac{1^{2}}{8}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

चरण 3.1.2.5.1.5

एक का कोई भी घात एक होता है.

$64 \frac{- \frac{1}{8} + \frac{1}{8}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

चरण 3.1.2.5.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$64 \frac{\frac{- 1 + 1}{8}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

चरण 3.1.2.5.3

$- 1$ और $1$ जोड़ें.

$64 \frac{\frac{0}{8}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

चरण 3.1.2.5.4

$0$ को $8$ से विभाजित करें.

$64 \frac{0}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

चरण 3.1.3

भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.1.1

$64 \frac{0}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - lim_{x \to - \frac{1}{8}} 1}$

चरण 3.1.3.1.2

$64$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$64 \frac{0}{64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} - lim_{x \to - \frac{1}{8}} 1}$

चरण 3.1.3.1.3

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $2$ को $x^{2}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$64 \frac{0}{64 {(lim_{x \to - \frac{1}{8}} x)}^{2} - lim_{x \to - \frac{1}{8}} 1}$

चरण 3.1.3.1.4

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $- \frac{1}{8}$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$64 \frac{0}{64 {(lim_{x \to - \frac{1}{8}} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

चरण 3.1.3.2

$x$ के लिए $- \frac{1}{8}$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$64 \frac{0}{64 {(- \frac{1}{8})}^{2} - 1 \cdot 1}$

चरण 3.1.3.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.3.1.1

घातांक वितरण करने के लिए घात नियम ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.3.1.1.1

उत्पाद नियम को $- \frac{1}{8}$ पर लागू करें.

$64 \frac{0}{64 {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{8})}^{2} - 1 \cdot 1}$

चरण 3.1.3.3.1.1.2

उत्पाद नियम को $\frac{1}{8}$ पर लागू करें.

$64 \frac{0}{64 {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{8^{2}} - 1 \cdot 1}$

चरण 3.1.3.3.1.2

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$64 \frac{0}{64 \cdot 1 \frac{1^{2}}{8^{2}} - 1 \cdot 1}$

चरण 3.1.3.3.1.3

$\frac{1^{2}}{8^{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$64 \frac{0}{64 \frac{1^{2}}{8^{2}} - 1 \cdot 1}$

चरण 3.1.3.3.1.4

एक का कोई भी घात एक होता है.

$64 \frac{0}{64 \frac{1}{8^{2}} - 1 \cdot 1}$

चरण 3.1.3.3.1.5

$8$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$64 \frac{0}{64 (\frac{1}{64}) - 1 \cdot 1}$

चरण 3.1.3.3.1.6

$64$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.3.1.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$64 \frac{0}{64 (\frac{1}{64}) - 1 \cdot 1}$

चरण 3.1.3.3.1.6.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$64 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

चरण 3.1.3.3.1.7

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$64 \frac{0}{1 - 1}$

चरण 3.1.3.3.2

$1$ में से $1$ घटाएं.

$64 (\frac{0}{0})$

चरण 3.1.3.3.3

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$64 (\frac{0}{0})$

चरण 3.1.3.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$64 (\frac{0}{0})$

चरण 3.1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$64 (\frac{0}{0})$

चरण 3.2

चूंकि $\frac{0}{0}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{x + 8 x^{2}}{x^{2} \cdot 64 - 1} = lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{\frac{d}{d x} [x + 8 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

चरण 3.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{\frac{d}{d x} [x + 8 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

चरण 3.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 8 x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ है.

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

चरण 3.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{1 + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

चरण 3.3.4

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.4.1

चूंकि $8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $8 x^{2}$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{1 + 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

चरण 3.3.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{1 + 8 \cdot 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

चरण 3.3.4.3

$2$ को $8$ से गुणा करें.

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{1 + 16 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

चरण 3.3.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

चरण 3.3.6

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} \cdot 64 - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

चरण 3.3.7

$\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.7.1

$64$ को $x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{\frac{d}{d x} [64 \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

चरण 3.3.7.2

चूंकि $64$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $64 x^{2}$ का व्युत्पन्न $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

चरण 3.3.7.3

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{64 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

चरण 3.3.7.4

$2$ को $64$ से गुणा करें.

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{128 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

चरण 3.3.8

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{128 x + 0}$

चरण 3.3.9

$128 x$ और $0$ जोड़ें.

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{128 x}$

चरण 4

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{1}{128}$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$64 (\frac{1}{128}) lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{x}$

चरण 4.2

जैसे ही $x$ $- \frac{1}{8}$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$64 (\frac{1}{128}) \frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} 16 x + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x}$

चरण 4.3

$64 (\frac{1}{128}) \frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} 16 x + lim_{x \to - \frac{1}{8}} 1}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x}$

चरण 4.4

$16$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$64 (\frac{1}{128}) \frac{16 lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + lim_{x \to - \frac{1}{8}} 1}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x}$

चरण 4.5

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $- \frac{1}{8}$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$64 (\frac{1}{128}) \frac{16 lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x}$

चरण 5

$x$ की सभी घटनाओं के लिए $- \frac{1}{8}$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$x$ के लिए $- \frac{1}{8}$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$64 (\frac{1}{128}) \frac{16 (- \frac{1}{8}) + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x}$

चरण 5.2

$x$ के लिए $- \frac{1}{8}$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$64 (\frac{1}{128}) \frac{16 (- \frac{1}{8}) + 1}{- \frac{1}{8}}$

चरण 6

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$64$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$128$ में से $64$ का गुणनखंड करें.

$64 \frac{1}{64 (2)} \frac{16 (- \frac{1}{8}) + 1}{- \frac{1}{8}}$

चरण 6.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$64 \frac{1}{64 \cdot 2} \frac{16 (- \frac{1}{8}) + 1}{- \frac{1}{8}}$

चरण 6.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{16 (- \frac{1}{8}) + 1}{- \frac{1}{8}}$

चरण 6.2

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\frac{1}{2} ((16 (- \frac{1}{8}) + 1) (- 1 \cdot 8))$

चरण 6.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$8$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1

$- \frac{1}{8}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{1}{2} ((16 (\frac{- 1}{8}) + 1) (- 1 \cdot 8))$

चरण 6.3.1.2

$16$ में से $8$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} ((8 (2) \frac{- 1}{8} + 1) (- 1 \cdot 8))$

चरण 6.3.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2} ((8 \cdot 2 \frac{- 1}{8} + 1) (- 1 \cdot 8))$

चरण 6.3.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} ((2 \cdot - 1 + 1) (- 1 \cdot 8))$

चरण 6.3.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} ((- 2 + 1) (- 1 \cdot 8))$

चरण 6.4

$- 2$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1}{2} (- 1 (- 1 \cdot 8))$

चरण 6.5

$- 1 (- 1 \cdot 8)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1

$- 1$ को $8$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (- 1 \cdot - 8)$

चरण 6.5.2

$- 1$ को $- 8$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} \cdot 8$

चरण 6.6

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.1

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} \cdot (2 (4))$

चरण 6.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 4)$

चरण 6.6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$4$