कैलकुलस उदाहरण

$y = \arctan (4 x^{2} - 3)$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\arctan (4 x^{2} - 3))$

चरण 2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ $f' (g (y)) g' (y)$ है, जहाँ $f (y) = \arctan (y)$ और $g (y) = 4 x^{2} - 3$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $4 x^{2} - 3$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 3]$

चरण 3.1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\arctan (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ है.

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 3]$

चरण 3.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $4 x^{2} - 3$ से बदलें.

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 3]$

चरण 3.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $4 x^{2} - 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]$ है.

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (\frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3])$

चरण 3.2.2

चूंकि $4$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $4 x^{2}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ है.

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3])$

चरण 3.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ $f' (g (y)) g' (y)$ है, जहाँ $f (y) = y^{2}$ और $g (y) = x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

चरण 3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

चरण 3.3.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x$ से बदलें.

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

चरण 3.4

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 (x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

चरण 3.5

$\frac{d}{d y} [x]$ को $x'$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x x' + \frac{d}{d y} [- 3])$

चरण 3.6

चूंकि $y$ के संबंध में $- 3$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- 3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x x' + 0)$

चरण 3.7

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

$8 x x'$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x x')$

चरण 3.7.2

$8$ और $\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (x x')$

चरण 3.7.3

$x$ और $\frac{8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{x \cdot 8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} x'$

चरण 3.7.4

$\frac{x \cdot 8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ और $x'$ को मिलाएं.

$\frac{x \cdot 8 x'}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$

चरण 3.7.5

$8$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{8 \cdot x x'}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$

चरण 3.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{8 x x'}{{(4 x^{2} - 3)}^{2} + 1}$

चरण 3.8.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.2.1

${(4 x^{2} - 3)}^{2}$ को $(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{8 x x'}{(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3) + 1}$

चरण 3.8.2.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.2.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{8 x x'}{4 x^{2} (4 x^{2} - 3) - 3 (4 x^{2} - 3) + 1}$

चरण 3.8.2.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{8 x x'}{4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2} - 3) + 1}$

चरण 3.8.2.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{8 x x'}{4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

चरण 3.8.2.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.2.3.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 x^{2} x^{2} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

चरण 3.8.2.3.1.2

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.2.3.1.2.1

$x^{2}$ ले जाएं.

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 (x^{2} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

चरण 3.8.2.3.1.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 x^{2 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

चरण 3.8.2.3.1.2.3

$2$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

चरण 3.8.2.3.1.3

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

चरण 3.8.2.3.1.4

$- 3$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

चरण 3.8.2.3.1.5

$4$ को $- 3$ से गुणा करें.

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 12 x^{2} - 3 \cdot - 3 + 1}$

चरण 3.8.2.3.1.6

$- 3$ को $- 3$ से गुणा करें.

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 12 x^{2} + 9 + 1}$

चरण 3.8.2.3.2

$- 12 x^{2}$ में से $12 x^{2}$ घटाएं.

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 24 x^{2} + 9 + 1}$

चरण 3.8.2.4

$9$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 24 x^{2} + 10}$

चरण 3.8.2.5

$16 x^{4} - 24 x^{2} + 10$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.2.5.1

$16 x^{4}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4}) - 24 x^{2} + 10}$

चरण 3.8.2.5.2

$- 24 x^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2}) + 10}$

चरण 3.8.2.5.3

$10$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (5)}$

चरण 3.8.2.5.4

$2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2})$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2}) + 2 (5)}$

चरण 3.8.2.5.5

$2 (8 x^{4} - 12 x^{2}) + 2 (5)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

चरण 3.8.3

$8$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.3.1

$8 x x'$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (4 x x')}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

चरण 3.8.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (4 x x')}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

चरण 3.8.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5}$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$1 = \frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5}$

चरण 5

$x'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

समीकरण को $\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} = 1$

चरण 5.2

दोनों पक्षों को $8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ से गुणा करें.

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5) = 1 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)$

चरण 5.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.1

$8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5) = 1 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)$

चरण 5.3.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$4 x x' = 1 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)$

चरण 5.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ को $1$ से गुणा करें.

$4 x x' = 8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$

चरण 5.4

$4 x x' = 8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ के प्रत्येक पद को $4 x$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$4 x x' = 8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ के प्रत्येक पद को $4 x$ से विभाजित करें.

$\frac{4 x x'}{4 x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

चरण 5.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 x x'}{4 x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

चरण 5.4.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x x'}{x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

चरण 5.4.2.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x x'}{x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

चरण 5.4.2.2.2

$x'$ को $1$ से विभाजित करें.

$x' = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

चरण 5.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1.1

$8$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1.1.1

$8 x^{4}$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x' = \frac{4 (2 x^{4})}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

चरण 5.4.3.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1.1.2.1

$4 x$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x' = \frac{4 (2 x^{4})}{4 (x)} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

चरण 5.4.3.1.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x' = \frac{4 (2 x^{4})}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

चरण 5.4.3.1.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x' = \frac{2 x^{4}}{x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

चरण 5.4.3.1.2

$x^{4}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1.2.1

$2 x^{4}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

चरण 5.4.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1.2.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x^{1}} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

चरण 5.4.3.1.2.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

चरण 5.4.3.1.2.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

चरण 5.4.3.1.2.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x' = \frac{2 x^{3}}{1} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

चरण 5.4.3.1.2.2.5

$2 x^{3}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x' = 2 x^{3} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

चरण 5.4.3.1.3

$- 12$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1.3.1

$- 12 x^{2}$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x' = 2 x^{3} + \frac{4 (- 3 x^{2})}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

चरण 5.4.3.1.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1.3.2.1

$4 x$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x' = 2 x^{3} + \frac{4 (- 3 x^{2})}{4 (x)} + \frac{5}{4 x}$

चरण 5.4.3.1.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x' = 2 x^{3} + \frac{4 (- 3 x^{2})}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

चरण 5.4.3.1.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x' = 2 x^{3} + \frac{- 3 x^{2}}{x} + \frac{5}{4 x}$

चरण 5.4.3.1.4

$x^{2}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1.4.1

$- 3 x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x} + \frac{5}{4 x}$

चरण 5.4.3.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1.4.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x^{1}} + \frac{5}{4 x}$

चरण 5.4.3.1.4.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x \cdot 1} + \frac{5}{4 x}$

चरण 5.4.3.1.4.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x \cdot 1} + \frac{5}{4 x}$

चरण 5.4.3.1.4.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x' = 2 x^{3} + \frac{- 3 x}{1} + \frac{5}{4 x}$

चरण 5.4.3.1.4.2.5

$- 3 x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x' = 2 x^{3} - 3 x + \frac{5}{4 x}$

चरण 6

$x'$ को $\frac{d x}{d y}$ से बदलें.

$\frac{d x}{d y} = 2 x^{3} - 3 x + \frac{5}{4 x}$