कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{1} x \sin (π x^{2}) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = π x^{2}$ .फिर $d u = 2 \cdot x π d x$ , तो $\frac{1}{2 π} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = π x^{2}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$π x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [π x^{2}]$

चरण 1.1.2

चूंकि $π$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $π x^{2}$ का व्युत्पन्न $π \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$π \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$π (2 x)$

चरण 1.1.4

$2$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 π x$

चरण 1.1.5

$2 π$ और $x$ को पुन: क्रमित करें.

$x (2 π)$

चरण 1.1.6

$x$ और $2$ को पुन: क्रमित करें.

$2 \cdot x π$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = π x^{2}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = π \cdot 0^{2}$

चरण 1.3

सरल करें.

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चरण 1.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{lower} = π \cdot 0$

चरण 1.3.2

$π$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = π x^{2}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = π \cdot 1^{2}$

चरण 1.5

सरल करें.

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चरण 1.5.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$u_{upper} = π \cdot 1$

चरण 1.5.2

$π$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{upper} = π$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{2 π} d u$

चरण 2

$\sin (u)$ और $\frac{1}{2 π}$ को मिलाएं.

$\int_{0}^{π} \frac{\sin (u)}{2 π} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2 π}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2 π}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2 π} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

चरण 4

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का इंटीग्रल $- \cos (u)$ है.

$\frac{1}{2 π} - \cos (u)]_{0}^{π}$

चरण 5

$π$ पर और $0$ पर $- \cos (u)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{2 π} (- \cos (π) + \cos (0))$

चरण 6

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{1}{2 π} (- \cos (π) + 1)$

चरण 7

सरल करें.

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चरण 7.1

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.

$\frac{1}{2 π} (- - \cos (0) + 1)$

चरण 7.2

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{1}{2 π} (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

चरण 7.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 π} (- - 1 + 1)$

चरण 7.4

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 π} (1 + 1)$

चरण 7.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1}{2 π} \cdot 2$

चरण 7.6

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

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चरण 7.6.1

$2 π$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2 (π)} \cdot 2$

चरण 7.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2 π} \cdot 2$

चरण 7.6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{π}$

चरण 8

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{1}{π}$

दशमलव रूप:

$0.31830988 \dots$