कैलकुलस उदाहरण

$\frac{- y}{x^{2} + y^{2}}$

चरण 1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

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चरण 1.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x^{2} + y^{2}}]$

चरण 1.2

चूंकि $- y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{y}{x^{2} + y^{2}}$ का व्युत्पन्न $- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]$ है.

$- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]$

चरण 1.3

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ को ${(x^{2} + y^{2})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- y \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{- 1}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 1}$ और $g (x) = x^{2} + y^{2}$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} + y^{2}$ के रूप में सेट करें.

$- y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$- y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + y^{2}$ से बदलें.

$- y (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

चरण 3.2

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

चरण 3.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + y^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ है.

$y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]))$

चरण 3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]))$

चरण 3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $y^{2}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $y^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (2 x + 0))$

चरण 3.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 3.6.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$y ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (2 x))$

चरण 3.6.2

$2$ को ${(x^{2} + y^{2})}^{- 2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y (2 \cdot {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} x)$

चरण 4

सरल करें.

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चरण 4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$y (2 \frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} x)$

चरण 4.2

पदों को मिलाएं.

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चरण 4.2.1

$2$ और $\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ को मिलाएं.

$y (\frac{2}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} x)$

चरण 4.2.2

$\frac{2}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ और $x$ को मिलाएं.

$y \frac{2 x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 4.2.3

$y$ और $\frac{2 x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{y (2 x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 4.2.4

$2$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 y x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 4.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{2 x y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$