कैलकुलस उदाहरण

$y = x^{3} + 3 x^{2} + 1$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x^{3} + 3 x^{2} + 1)$

चरण 2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $x^{3} + 3 x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ है.

$\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 3.2

$\frac{d}{d y} [x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ $f' (g (y)) g' (y)$ है, जहाँ $f (y) = y^{3}$ और $g (y) = x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 3.2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 3.2.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x$ से बदलें.

$3 x^{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 3.2.2

$\frac{d}{d y} [x]$ को $x'$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 x^{2} x' + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 3.3

$\frac{d}{d y} [3 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चूंकि $3$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $3 x^{2}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ है.

$3 x^{2} x' + 3 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 3.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ $f' (g (y)) g' (y)$ है, जहाँ $f (y) = y^{2}$ और $g (y) = x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $x$ के रूप में सेट करें.

$3 x^{2} x' + 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 3.3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$3 x^{2} x' + 3 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 3.3.2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x$ से बदलें.

$3 x^{2} x' + 3 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 3.3.3

$\frac{d}{d y} [x]$ को $x'$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 x^{2} x' + 3 (2 x x') + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 3.3.4

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$3 x^{2} x' + 6 x x' + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 3.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 x^{2} x' + 6 x x' + 0$

चरण 3.4.2

$3 x^{2} x' + 6 x x'$ और $0$ जोड़ें.

$3 x^{2} x' + 6 x x'$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$1 = 3 x^{2} x' + 6 x x'$

चरण 5

$x'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

समीकरण को $3 x^{2} x' + 6 x x' = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 x^{2} x' + 6 x x' = 1$

चरण 5.2

$3 x^{2} x' + 6 x x'$ में से $3 x x'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$3 x^{2} x'$ में से $3 x x'$ का गुणनखंड करें.

$3 x x' x + 6 x x' = 1$

चरण 5.2.2

$6 x x'$ में से $3 x x'$ का गुणनखंड करें.

$3 x x' x + 3 x x' \cdot 2 = 1$

चरण 5.2.3

$3 x x' x + 3 x x' \cdot 2$ में से $3 x x'$ का गुणनखंड करें.

$3 x x' (x + 2) = 1$

चरण 5.3

$3 x x' (x + 2) = 1$ के प्रत्येक पद को $3 x (x + 2)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$3 x x' (x + 2) = 1$ के प्रत्येक पद को $3 x (x + 2)$ से विभाजित करें.

$\frac{3 x x' (x + 2)}{3 x (x + 2)} = \frac{1}{3 x (x + 2)}$

चरण 5.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 x x' (x + 2)}{3 x (x + 2)} = \frac{1}{3 x (x + 2)}$

चरण 5.3.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x x' (x + 2)}{x (x + 2)} = \frac{1}{3 x (x + 2)}$

चरण 5.3.2.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x x' (x + 2)}{x (x + 2)} = \frac{1}{3 x (x + 2)}$

चरण 5.3.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x' (x + 2)}{x + 2} = \frac{1}{3 x (x + 2)}$

चरण 5.3.2.3

$x + 2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x' (x + 2)}{x + 2} = \frac{1}{3 x (x + 2)}$

चरण 5.3.2.3.2

$x'$ को $1$ से विभाजित करें.

$x' = \frac{1}{3 x (x + 2)}$

चरण 6

$x'$ को $\frac{d x}{d y}$ से बदलें.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{3 x (x + 2)}$