कैलकुलस उदाहरण

$x \sqrt{1 - x}$

चरण 1

$x \sqrt{1 - x}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = x \sqrt{1 - x}$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int x \sqrt{1 - x} d x$

चरण 4

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = \sqrt{1 - x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$x (- \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ और $\frac{2}{3}$ को मिलाएं.

$x (- \frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) - \int - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

चरण 5.2

$x$ और $\frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ को मिलाएं.

$- \frac{x ({(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3} - \int - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

चरण 5.3

$2$ को ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

चरण 6

चूँकि $- \frac{2}{3}$ बटे $x$ अचर है, $- \frac{2}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (- \frac{2}{3} \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + 1 (\frac{2}{3} \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

चरण 7.2

$\frac{2}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

चरण 8

मान लीजिए $u = 1 - x$ .फिर $d u = - d x$ , तो $- d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

मान लें $u = 1 - x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$1 - x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

चरण 8.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 8.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 8.1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

चरण 8.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 - 1 \cdot 1$

चरण 8.1.3.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$0 - 1$

चरण 8.1.4

$0$ में से $1$ घटाएं.

$- 1$

चरण 8.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} \int - u^{\frac{3}{2}} d u$

चरण 9

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} (- \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

चरण 10

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{3}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ है.

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$\frac{2}{5}$ और $u^{\frac{5}{2}}$ को मिलाएं.

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

चरण 11.2

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$ को $- \frac{2}{3} x {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{2}{3} x {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

चरण 11.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

$x$ और $\frac{2}{3}$ को मिलाएं.

$- \frac{x \cdot 2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

चरण 11.3.2

${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ और $\frac{x \cdot 2}{3}$ को मिलाएं.

$- \frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (x \cdot 2)}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

चरण 11.3.3

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (2 \cdot x)}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

चरण 11.3.4

$2$ को ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{2 \cdot {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

चरण 11.3.5

$u^{\frac{5}{2}}$ और $\frac{2}{5}$ को मिलाएं.

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5}) + C$

चरण 11.3.6

$\frac{2}{3}$ को $\frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5}$ से गुणा करें.

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} - \frac{2 (u^{\frac{5}{2}} \cdot 2)}{3 \cdot 5} + C$

चरण 11.3.7

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 5} + C$

चरण 11.3.8

$3$ को $5$ से गुणा करें.

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

चरण 11.3.9

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

चरण 11.3.10

प्रत्येक व्यंजक को $15$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.10.1

$\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3}$ को $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

चरण 11.3.10.2

$3$ को $5$ से गुणा करें.

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 5}{15} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

चरण 11.3.11

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 5 - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

चरण 11.3.12

$5$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{- 10 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

चरण 12

$u$ की सभी घटनाओं को $1 - x$ से बदलें.

$\frac{- 10 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 4 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

चरण 13

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{15} (- 10 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 4 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$

चरण 14

उत्तर फलन $f (x) = x \sqrt{1 - x}$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $\frac{1}{15} (- 10 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 4 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$