कैलकुलस उदाहरण

${(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{4}$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{4}$ और $g (x) = e^{3 x} + \sin (2 x)$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $e^{3 x} + \sin (2 x)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [e^{3 x} + \sin (2 x)]$

चरण 1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + \sin (2 x)]$

चरण 1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $e^{3 x} + \sin (2 x)$ से बदलें.

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + \sin (2 x)]$

चरण 2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{3 x} + \sin (2 x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ है.

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 3 x$ है.

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चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $3 x$ के रूप में सेट करें.

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])$

चरण 3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])$

चरण 3.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $3 x$ से बदलें.

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])$

चरण 4

अवकलन करें.

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चरण 4.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])$

चरण 4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])$

चरण 4.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 4.3.1

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])$

चरण 4.3.2

$3$ को $e^{3 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (3 \cdot e^{3 x} + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])$

चरण 5

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

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चरण 5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{3}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (3 e^{3 x} + \frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 5.2

$u_{3}$ के संबंध में $\sin (u_{3})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{3})$ है.

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (3 e^{3 x} + \cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 5.3

$u_{3}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (3 e^{3 x} + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 6

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (3 e^{3 x} + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 6.2

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (3 e^{3 x} + \cos (2 x) (2 \cdot 1))$

चरण 6.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 6.3.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (3 e^{3 x} + \cos (2 x) \cdot 2)$

चरण 6.3.2

$2$ को $\cos (2 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (3 e^{3 x} + 2 \cos (2 x))$