कैलकुलस उदाहरण

$\int 2 x^{3} \sin (3 x^{4}) d x$

चरण 1

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int x^{3} \sin (3 x^{4}) d x$

चरण 2

मान लीजिए $u_{1} = x^{2}$ .फिर $d u_{1} = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u_{1} = x^{2}$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x$

चरण 2.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$2 \int u_{1} \sin (3 {\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ को ${u_{1}}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$\sqrt{u_{1}}$ को ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$2 \int u_{1} \sin (3 {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 3.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 3.1.3

$\frac{1}{2}$ और $4$ को मिलाएं.

$2 \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{\frac{4}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 3.1.4

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.4.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 3.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.4.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 3.1.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 3.1.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{\frac{2}{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 3.1.4.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{2}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 3.2

$\frac{1}{2}$ और $u_{1}$ को मिलाएं.

$2 \int \frac{u_{1}}{2} \sin (3 {u_{1}}^{2}) d u_{1}$

चरण 3.3

$\frac{u_{1}}{2}$ और $\sin (3 {u_{1}}^{2})$ को मिलाएं.

$2 \int \frac{u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{2})}{2} d u_{1}$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (\frac{1}{2} \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{2}) d u_{1})$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{2}{2} \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{2}) d u_{1}$

चरण 5.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2}{2} \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{2}) d u_{1}$

चरण 5.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{2}) d u_{1}$

चरण 5.3

$\int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{2}) d u_{1}$ को $1$ से गुणा करें.

$\int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{2}) d u_{1}$

चरण 6

मान लीजिए $u_{2} = 3 {u_{1}}^{2}$ .फिर $d u_{2} = 6 u_{1} d u_{1}$ , तो $\frac{1}{6} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

मान लें $u_{2} = 3 {u_{1}}^{2}$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$3 {u_{1}}^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [3 {u_{1}}^{2}]$

चरण 6.1.2

चूंकि $3$ , $u_{1}$ के संबंध में स्थिर है, $u_{1}$ के संबंध में $3 {u_{1}}^{2}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ है.

$3 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

चरण 6.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$3 (2 u_{1})$

चरण 6.1.4

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$6 u_{1}$

चरण 6.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \sin (u_{2}) \frac{1}{6} d u_{2}$

चरण 7

$\sin (u_{2})$ और $\frac{1}{6}$ को मिलाएं.

$\int \frac{\sin (u_{2})}{6} d u_{2}$

चरण 8

चूँकि $\frac{1}{6}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{6}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{6} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

चरण 9

$u_{2}$ के संबंध में $\sin (u_{2})$ का इंटीग्रल $- \cos (u_{2})$ है.

$\frac{1}{6} (- \cos (u_{2}) + C)$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

सरल करें.

$\frac{1}{6} (- \cos (u_{2})) + C$

चरण 10.2

$\frac{1}{6}$ और $\cos (u_{2})$ को मिलाएं.

$- \frac{\cos (u_{2})}{6} + C$

चरण 11

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $3 {u_{1}}^{2}$ से बदलें.

$- \frac{\cos (3 {u_{1}}^{2})}{6} + C$

चरण 11.2

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$- \frac{\cos (3 {(x^{2})}^{2})}{6} + C$

चरण 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

घातांक को ${(x^{2})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\cos (3 x^{2 \cdot 2})}{6} + C$

चरण 12.1.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{\cos (3 x^{4})}{6} + C$

चरण 12.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- \frac{1}{6} \cos (3 x^{4}) + C$