कैलकुलस उदाहरण

$\sqrt{x + 4 y^{2}} = y$

चरण 1

$\sqrt{x + 4 y^{2}}$ को ${(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = y$

चरण 2

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} ({(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (y)$

चरण 3

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = x + 4 y^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $x + 4 y^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

चरण 3.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

चरण 3.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x + 4 y^{2}$ से बदलें.

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

चरण 3.2

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

चरण 3.3

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

चरण 3.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

चरण 3.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

चरण 3.5.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

चरण 3.6

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

चरण 3.6.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.1

$\frac{1}{2}$ और ${(x + 4 y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{{(x + 4 y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

चरण 3.6.2.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(x + 4 y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

चरण 3.6.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 4 y^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ है.

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}])$

चरण 3.6.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}])$

चरण 3.6.5

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 y^{2}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ है.

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}])$

चरण 3.7

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

चरण 3.7.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 4 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]))$

चरण 3.7.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

चरण 3.8

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 8 (y \frac{d}{d x} [y]))$

चरण 3.9

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 8 y y')$

चरण 3.10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.10.1

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 8 y y')$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(1 + 8 y y') \frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 3.10.2

$1 + 8 y y'$ को $\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{1 + 8 y y'}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$y'$

चरण 5

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$\frac{1 + 8 y y'}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = y'$

चरण 6

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

दोनों पक्षों को $2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{1 + 8 y y'}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$\frac{1 + 8 y y'}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$2 \frac{1 + 8 y y'}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{1 + 8 y y'}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1 + 8 y y'}{{(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.1.1.3

${(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1 + 8 y y'}{{(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.1.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 + 8 y y' = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.1.1.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1.4.1

$y$ ले जाएं.

$1 + 8 y' y = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.1.1.4.2

$1$ और $8 y' y$ को पुन: क्रमित करें.

$8 y' y + 1 = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$8 y' y + 1 = 2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

चरण 6.3

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ घटाएं.

$8 y' y + 1 - 2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 0$

चरण 6.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$8 y' y - 2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = - 1$

चरण 6.3.3

$8 y' y - 2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ में से $2 y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.1

$8 y' y$ में से $2 y'$ का गुणनखंड करें.

$2 y' (4 y) - 2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = - 1$

चरण 6.3.3.2

$- 2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ में से $2 y'$ का गुणनखंड करें.

$2 y' (4 y) + 2 y' (- 1 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = - 1$

चरण 6.3.3.3

$2 y' (4 y) + 2 y' (- 1 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ में से $2 y'$ का गुणनखंड करें.

$2 y' (4 y - 1 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = - 1$

चरण 6.3.4

$- 1 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ को $- {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = - 1$

चरण 6.3.5

$2 y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = - 1$ के प्रत्येक पद को $8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.5.1

$2 y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = - 1$ के प्रत्येक पद को $8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ से विभाजित करें.

$\frac{2 y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.3.5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.5.2.1

$2 y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.3.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.5.2.2.1

$8 y$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 (4 y) - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.3.5.2.2.2

$- 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 (4 y) + 2 (- {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.3.5.2.2.3

$2 (4 y) + 2 (- {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.3.5.2.2.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.3.5.2.2.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.3.5.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.3.5.2.4

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.3.5.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.5.3.1

$8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.5.3.1.1

$8 y$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{- 1}{2 (4 y) - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.3.5.3.1.2

$- 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{- 1}{2 (4 y) + 2 (- {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

चरण 6.3.5.3.1.3

$2 (4 y) + 2 (- {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{- 1}{2 (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

चरण 6.3.5.3.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{1}{2 (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

चरण 7

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{2 (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$