कैलकुलस उदाहरण

$4 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1}$

चरण 1

$4 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = 4 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1}$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int 4 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1} d x$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int 4 - 3 \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

चरण 4.1.2

$- 3$ और $\frac{1}{1 + x^{2}}$ को मिलाएं.

$\int 4 + \frac{- 3}{1 + x^{2}} d x$

चरण 4.1.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int 4 - \frac{3}{1 + x^{2}} d x$

चरण 4.2

$4$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ से गुणा करें.

$\int \frac{4 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} - \frac{3}{1 + x^{2}} d x$

चरण 4.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\int \frac{4 (1 + x^{2}) - 3}{1 + x^{2}} d x$

चरण 4.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int \frac{4 \cdot 1 + 4 x^{2} - 3}{1 + x^{2}} d x$

चरण 4.4.2

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$\int \frac{4 + 4 x^{2} - 3}{1 + x^{2}} d x$

चरण 4.4.3

$4$ में से $3$ घटाएं.

$\int \frac{4 x^{2} + 1}{1 + x^{2}} d x$

चरण 5

$1$ और $x^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$\int \frac{4 x^{2} + 1}{x^{2} + 1} d x$

चरण 6

$4 x^{2} + 1$ को $x^{2} + 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$4 x^{2}$

$0 x$

$1$

चरण 6.2

भाज्य $4 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x^{2}$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

							$4$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

चरण 6.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

						$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					+	$4 x^{2}$	+	$0$	+	$4$

चरण 6.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $4 x^{2} + 0 + 4$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

						$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$4 x^{2}$	-	$0$	-	$4$

चरण 6.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

						$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$4 x^{2}$	-	$0$	-	$4$
									-	$3$

चरण 6.6

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\int 4 - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

चरण 7

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int 4 d x + \int - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

चरण 8

स्थिरांक नियम लागू करें.

$4 x + C + \int - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

चरण 9

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$4 x + C - \int \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

चरण 10

चूँकि $3$ बटे $x$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$4 x + C - (3 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

चरण 11

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$4 x + C - 3 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

चरण 11.2

$x^{2}$ और $1$ को पुन: क्रमित करें.

$4 x + C - 3 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

चरण 11.3

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 x + C - 3 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

चरण 12

$x$ के संबंध में $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ का इंटीग्रल $\arctan (x) + C$ है.

$4 x + C - 3 (\arctan (x) + C)$

चरण 13

सरल करें.

$4 x - 3 \arctan (x) + C$

चरण 14

उत्तर फलन $f (x) = 4 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1}$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $4 x - 3 \arctan (x) + C$