कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{7} (x) \sin^{5} (x) d x$

चरण 1

$\cos^{6} (x)$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{6} (x) \cos (x) \sin^{5} (x) d x$

चरण 2

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

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चरण 2.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\cos (x)}^{2 (3)} \cos (x) \sin^{5} (x) d x$

चरण 2.2

${\cos (x)}^{2 (3)}$ को घातांक के रूप में फिर से लिखें.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\cos^{2} (x))}^{3} \cos (x) \sin^{5} (x) d x$

चरण 3

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\cos^{2} (x)$ को $1 - \sin^{2} (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(1 - \sin^{2} (x))}^{3} \cos (x) \sin^{5} (x) d x$

चरण 4

मान लीजिए $u = \sin (x)$ .फिर $d u = \cos (x) d x$ , तो $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 4.1

मान लें $u = \sin (x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 4.1.1

$\sin (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 4.1.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$\cos (x)$

चरण 4.2

$x$ के लिए $u = \sin (x)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \sin (0)$

चरण 4.3

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$u_{lower} = 0$

चरण 4.4

$x$ के लिए $u = \sin (x)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

चरण 4.5

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$u_{upper} = 1$

चरण 4.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

चरण 4.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{1} {(1 - u^{2})}^{3} u^{5} d u$

चरण 5

${(1 - u^{2})}^{3} u^{5}$ का प्रसार करें.

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चरण 5.1

द्विपद प्रमेय का प्रयोग करें.

$\int_{0}^{1} (1^{3} + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3}) u^{5} d u$

चरण 5.2