कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{π}{8}} \cos^{4} (2 x) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{1} = 2 x$ .फिर $d u_{1} = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u_{1} = 2 x$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 1.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 1.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u_{1} = 2 x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

चरण 1.3

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u_{1} = 2 x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{8}$

चरण 1.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (4)}$

चरण 1.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 4}$

चरण 1.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

चरण 1.7

$u_{1}$ , $d u_{1}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos^{4} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2

$\cos^{4} (u_{1})$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\cos^{4} (u_{1})}{2} d u_{1}$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos^{4} (u_{1}) d u_{1}$

चरण 4

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} {\cos (u_{1})}^{2 (2)} d u_{1}$

चरण 4.2

${\cos (u_{1})}^{2 (2)}$ को घातांक के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\cos^{2} (u_{1}))}^{2} d u_{1}$

चरण 5

$\cos^{2} (u_{1})$ को $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए अर्ध-कोण सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

चरण 6

मान लीजिए $u_{2} = 2 u_{1}$ .फिर $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

मान लें $u_{2} = 2 u_{1}$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$2 u_{1}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

चरण 6.1.2

चूंकि $2$ , $u_{1}$ के संबंध में स्थिर है, $u_{1}$ के संबंध में $2 u_{1}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ है.

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

चरण 6.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 6.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 6.2

$u_{1}$ के लिए $u_{2} = 2 u_{1}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

चरण 6.3

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 6.4

$u_{1}$ के लिए $u_{2} = 2 u_{1}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

चरण 6.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

चरण 6.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

चरण 6.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

चरण 6.6

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

चरण 6.7

$u_{2}$ , $d u_{2}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\frac{1 + \cos (u_{2})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\frac{1 + \cos (u_{2})}{2})}^{2} d u_{2})$

चरण 8

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\frac{1 + \cos (u_{2})}{2})}^{2} d u_{2}$

चरण 8.1.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\frac{1 + \cos (u_{2})}{2})}^{2} d u_{2}$

चरण 8.2

एक गुणनफल के रूप में $\frac{1 + \cos (u_{2})}{2}$ को फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{2})))}^{2} d u_{2}$

चरण 8.3

${(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{2})))}^{2}$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

एक गुणनफल के रूप में घातांक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{2}))) d u_{2}$

चरण 8.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{2}))) d u_{2}$

चरण 8.3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

चरण 8.3.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

चरण 8.3.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

चरण 8.3.6

वितरण गुणधर्म लागू करें.

चरण 8.3.7