कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{\ln (1 - x^{2})}{x - 1}$

चरण 1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = \ln (1 - x^{2})$ और $g (x) = x - 1$ है.

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [\ln (1 - x^{2})] - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = 1 - x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $1 - x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 2.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{(x - 1) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $1 - x^{2}$ से बदलें.

$\frac{(x - 1) (\frac{1}{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ है.

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 - x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 - x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ जोड़ें.

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.4

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 - x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 - x^{2}} (- (2 x)) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.6

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 - x^{2}} (- 2 x) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.6.2

$- 2$ और $\frac{1}{1 - x^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{(x - 1) \frac{- 2}{1 - x^{2}} x - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.6.3

$x$ और $\frac{- 2}{1 - x^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{(x - 1) \frac{x \cdot - 2}{1 - x^{2}} - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.6.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.4.1

$- 2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{(x - 1) \frac{- 2 \cdot x}{1 - x^{2}} - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.6.4.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{(x - 1) (- \frac{2 x}{1 - x^{2}}) - \ln (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.7

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{(x - 1) (- \frac{2 x}{1 - x^{2}}) - \ln (1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(x - 1) (- \frac{2 x}{1 - x^{2}}) - \ln (1 - x^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.9

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(x - 1) (- \frac{2 x}{1 - x^{2}}) - \ln (1 - x^{2}) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.10

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.10.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(x - 1) (- \frac{2 x}{1 - x^{2}}) - \ln (1 - x^{2}) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 3.10.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(x - 1) (- \frac{2 x}{1 - x^{2}}) - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1.1.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{(x - 1) (- \frac{2 x}{1^{2} - x^{2}}) - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.1.1.1.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = 1$ और $b = x$ .

$\frac{(x - 1) (- \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}) - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.1.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x (- \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}) - 1 (- \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}) - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.1.1.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{- x \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - 1 (- \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}) - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.1.1.4

$- 1 (- \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1.4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{- x \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} + 1 \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.1.1.4.2

$\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- x \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.1.1.5

$- x \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1.5.1

$\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{- \frac{2 x \cdot x}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.1.1.5.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{- \frac{2 (x^{1} x)}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.1.1.5.3

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{- \frac{2 (x^{1} x^{1})}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.1.1.5.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{- \frac{2 x^{1 + 1}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.1.1.5.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{- \frac{2 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \ln (1 - x^{2})}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.1.2

$- \ln (1 - x^{2})$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{2 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)} - \ln (1 - x^{2}) \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.1.3

$- \ln (1 - x^{2})$ और $\frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{2 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- \ln (1 - x^{2}) ((1 + x) (1 - x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.1.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) ((1 + x) (1 - x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.1.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) ((1 + x) (1 - x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.1.6

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.6.1

FOIL विधि का उपयोग करके $(1 + x) (1 - x)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.6.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 (1 - x) + x (1 - x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.1.6.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.1.6.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.1.6.2

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.6.2.1.1

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.1.6.2.1.2

$- x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 - x + x \cdot 1 + x (- x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.1.6.2.1.3

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 - x + x + x (- x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.1.6.2.1.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 - x + x - x \cdot x)}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.1.6.2.1.5

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.6.2.1.5.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 - x + x - (x \cdot x))}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.1.6.2.1.5.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 - x + x - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.1.6.2.2

$- x$ और $x$ जोड़ें.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 + 0 - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.1.6.2.3

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) (1 - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.1.6.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) \cdot 1 - \ln (1 - x^{2}) (- x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.1.6.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) - \ln (1 - x^{2}) (- x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.1.6.5

$- \ln (1 - x^{2}) (- x^{2})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.6.5.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + 1 \ln (1 - x^{2}) x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.1.6.5.2

$\ln (1 - x^{2})$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + \ln (1 - x^{2}) x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.1.7

गुणनखंडों को $2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + \ln (1 - x^{2}) x^{2}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

एक गुणनफल के रूप में $\frac{\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}}{{(x - 1)}^{2}}$ को फिर से लिखें.

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.2.2

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}$ को $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) (1 - x) {(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.2.3

$1$ को $- 1 (- 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) (- 1 (- 1) - x) {(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.2.4

$- x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) (- 1 (- 1) - (x)) {(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.2.5

$- 1 (- 1) - (x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) (- 1 (- 1 + x)) {(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.2.6

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) \cdot - 1 (x - 1) {(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.2.7

घातांक जोड़कर $x - 1$ को ${(x - 1)}^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.7.1

${(x - 1)}^{2}$ ले जाएं.

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) \cdot - 1 ({(x - 1)}^{2} (x - 1))}$

चरण 4.2.7.2

${(x - 1)}^{2}$ को $x - 1$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.7.2.1

$x - 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) \cdot - 1 ({(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{1})}$

चरण 4.2.7.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) \cdot - 1 {(x - 1)}^{2 + 1}}$

चरण 4.2.7.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) \cdot - 1 {(x - 1)}^{3}}$

चरण 4.2.8

$- 1$ को $1 + x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{- 1 \cdot (1 + x) {(x - 1)}^{3}}$

चरण 4.2.9

$- 1 (1 + x)$ को $- (1 + x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{- (1 + x) {(x - 1)}^{3}}$

चरण 4.2.10

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{2 x - 2 x^{2} - \ln (1 - x^{2}) + x^{2} \ln (1 - x^{2})}{(1 + x) {(x - 1)}^{3}}$