कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x \cdot e^{x}$ , $[0, 1]$

चरण 1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 2

$f (x)$ $[0, 1]$ पर निरंतर है.

$f (x)$ निरंतर है

चरण 3

अंतराल $[a, b]$ पर फलन $f$ का औसत मान $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ के रूप में परिभाषित किया गया है.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

चरण 4

किसी फलन के औसत मान के लिए वास्तविक मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\int_{0}^{1} x \cdot e^{x} d x)$

चरण 5

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = e^{x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x)$

चरण 6

$x$ के संबंध में $e^{x}$ का इंटीग्रल $e^{x}$ है.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

चरण 7

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$1$ पर और $0$ पर $x e^{x}$ का मान ज्ञात करें.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} ((1 e) + 0 e^{0} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

चरण 7.2

$1$ पर और $0$ पर $e^{x}$ का मान ज्ञात करें.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} ((1 e) + 0 e^{0} - ((e) - e^{0}))$

चरण 7.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

सरल करें.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 e + 0 e^{0} - ((e) - e^{0}))$

चरण 7.3.2

$e$ को $1$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e + 0 e^{0} - ((e) - e^{0}))$

चरण 7.3.3

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e + 0 \cdot 1 - ((e) - e^{0}))$

चरण 7.3.4

$0$ को $1$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e + 0 - ((e) - e^{0}))$

चरण 7.3.5

$e$ और $0$ जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - ((e) - e^{0}))$

चरण 7.3.6

सरल करें.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - (e - e^{0}))$

चरण 7.3.7

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - (e - 1 \cdot 1))$

चरण 7.3.8

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - (e - 1))$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - e + 1)$

चरण 8.1.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - e + 1)$

चरण 8.2

$e$ में से $e$ घटाएं.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (0 + 1)$

चरण 8.3

$0$ और $1$ जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1)$

चरण 9

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{1 + 0} \cdot 1$

चरण 9.2

$1$ और $0$ जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 1$

चरण 10

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 1$

चरण 10.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = 1 \cdot 1$

चरण 10.2

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$A (x) = 1$

चरण 11