कैलकुलस उदाहरण

$x \cdot e^{\frac{x}{3}}$

चरण 1

$x \cdot e^{\frac{x}{3}}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = x \cdot e^{\frac{x}{3}}$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int x \cdot e^{\frac{x}{3}} d x$

चरण 4

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = e^{\frac{x}{3}}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$x (3 e^{\frac{1}{3} x}) - \int 3 e^{\frac{1}{3} x} d x$

चरण 5

चूँकि $3$ बटे $x$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$x (3 e^{\frac{1}{3} x}) - (3 \int e^{\frac{1}{3} x} d x)$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{1}{3}$ और $x$ को मिलाएं.

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - (3 \int e^{\frac{1}{3} x} d x)$

चरण 6.2

$\frac{1}{3}$ और $x$ को मिलाएं.

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - (3 \int e^{\frac{x}{3}} d x)$

चरण 6.3

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 3 \int e^{\frac{x}{3}} d x$

चरण 7

मान लीजिए $u = \frac{x}{3}$ .फिर $d u = \frac{1}{3} d x$ , तो $3 d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

मान लें $u = \frac{x}{3}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$\frac{x}{3}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

चरण 7.1.2

चूंकि $\frac{1}{3}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x}{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 7.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{3} \cdot 1$

चरण 7.1.4

$\frac{1}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3}$

चरण 7.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 3 \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\frac{1}{3}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 3 \int e^{u} (1 \cdot 3) d u$

चरण 8.2

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 3 \int e^{u} \cdot 3 d u$

चरण 8.3

$3$ को $e^{u}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 3 \int 3 e^{u} d u$

चरण 9

चूँकि $3$ बटे $u$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 3 (3 \int e^{u} d u)$

चरण 10

$3$ को $- 3$ से गुणा करें.

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 9 \int e^{u} d u$

चरण 11

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 9 (e^{u} + C)$

चरण 12

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 9 (e^{u} + C)$ को $3 x e^{\frac{x}{3}} - 9 e^{u} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 x e^{\frac{x}{3}} - 9 e^{u} + C$

चरण 13

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{x}{3}$ से बदलें.

$3 x e^{\frac{x}{3}} - 9 e^{\frac{x}{3}} + C$

चरण 14

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$3 x e^{\frac{1}{3} x} - 9 e^{\frac{1}{3} x} + C$

चरण 15

उत्तर फलन $f (x) = x \cdot e^{\frac{x}{3}}$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $3 x e^{\frac{1}{3} x} - 9 e^{\frac{1}{3} x} + C$