कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{1} x \cdot 5^{x} d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = 5^{x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$x (\frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{x} d x$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{1}{\ln (5)}$ और $5^{x}$ को मिलाएं.

$x \frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{x} d x$

चरण 2.2

$x$ और $\frac{5^{x}}{\ln (5)}$ को मिलाएं.

$\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{x} d x$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{\ln (5)}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{\ln (5)}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - (\frac{1}{\ln (5)} \int_{0}^{1} 5^{x} d x)$

चरण 4

$x$ के संबंध में $5^{x}$ का इंटीग्रल $\frac{5^{x}}{\ln (5)}$ है.

$\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - \frac{1}{\ln (5)} \frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1}$

चरण 5

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1}$ और $\frac{1}{\ln (5)}$ को मिलाएं.

$\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - \frac{\frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1}}{\ln (5)}$

चरण 5.2

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$1$ पर और $0$ पर $\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{1 \cdot 5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{0 \cdot 5^{0}}{\ln (5)} - \frac{\frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1}}{\ln (5)}$

चरण 5.2.2

$1$ पर और $0$ पर $\frac{5^{x}}{\ln (5)}$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{1 \cdot 5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{0 \cdot 5^{0}}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

चरण 5.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\frac{1 \cdot 5}{\ln (5)} - \frac{0 \cdot 5^{0}}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

चरण 5.2.3.2

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{0 \cdot 5^{0}}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

चरण 5.2.3.3

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{0 \cdot 1}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

चरण 5.2.3.4

$0$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{0}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

चरण 5.2.3.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{5 + 0}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

चरण 5.2.3.6

$5$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

चरण 5.2.3.7

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{\frac{5}{\ln (5)} - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

चरण 5.2.3.8

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{\frac{5}{\ln (5)} - \frac{1}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

चरण 5.2.3.9

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{\frac{5 - 1}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

चरण 5.2.3.10

$5$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{\frac{4}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

चरण 5.2.3.11

एक गुणनफल के रूप में $\frac{\frac{4}{\ln (5)}}{\ln (5)}$ को फिर से लिखें.

$\frac{5}{\ln (5)} - (\frac{4}{\ln (5)} \cdot \frac{1}{\ln (5)})$

चरण 5.2.3.12

$\frac{4}{\ln (5)}$ को $\frac{1}{\ln (5)}$ से गुणा करें.

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln (5) \ln (5)}$

चरण 5.2.3.13

$\ln (5)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln^{1} (5) \ln (5)}$

चरण 5.2.3.14

$\ln (5)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln^{1} (5) \ln^{1} (5)}$

चरण 5.2.3.15

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{{\ln (5)}^{1 + 1}}$

चरण 5.2.3.16

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln^{2} (5)}$

चरण 6

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln^{2} (5)}$

दशमलव रूप:

$1.56244626 \dots$

चरण 7