कैलकुलस उदाहरण

$y = x^{3} - 3 x^{2} - 2$ , $(1, - 4)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 1$ और $y = - 4$ पर मूल्यांकन करें.

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चरण 1.1

अवकलन करें.

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चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} - 3 x^{2} - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 1.2.1

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 x^{2}$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 1.2.3

$2$ को $- 3$ से गुणा करें.

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 1.3

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

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चरण 1.3.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 x^{2} - 6 x + 0$

चरण 1.3.2

$3 x^{2} - 6 x$ और $0$ जोड़ें.

$3 x^{2} - 6 x$

चरण 1.4

$x = 1$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$3 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1$

चरण 1.5

सरल करें.

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चरण 1.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

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चरण 1.5.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$3 \cdot 1 - 6 \cdot 1$

चरण 1.5.1.2

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3 - 6 \cdot 1$

चरण 1.5.1.3

$- 6$ को $1$ से गुणा करें.

$3 - 6$

चरण 1.5.2

$3$ में से $6$ घटाएं.

$- 3$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

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चरण 2.1

ढलान $- 3$ और दिए गए बिंदु $(1, - 4)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (- 4) = - 3 \cdot (x - (1))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y + 4 = - 3 \cdot (x - 1)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

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चरण 2.3.1

$- 3 \cdot (x - 1)$ को सरल करें.

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चरण 2.3.1.1

फिर से लिखें.

$y + 4 = 0 + 0 - 3 \cdot (x - 1)$

चरण 2.3.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y + 4 = - 3 \cdot (x - 1)$

चरण 2.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y + 4 = - 3 x - 3 \cdot - 1$

चरण 2.3.1.4

$- 3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y + 4 = - 3 x + 3$

चरण 2.3.2

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

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चरण 2.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $4$ घटाएं.

$y = - 3 x + 3 - 4$

चरण 2.3.2.2

$3$ में से $4$ घटाएं.

$y = - 3 x - 1$

चरण 3