कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \arccos (x) d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \arccos (x)$ और $d v = 1$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} x (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}) d x$

चरण 2

$x$ और $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ को मिलाएं.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

चरण 3

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - - \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + 1 \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

चरण 4.2

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$ को $1$ से गुणा करें.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

चरण 5

मान लीजिए $u = 1 - x^{2}$ .फिर $d u = - 2 x d x$ , तो $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u = 1 - x^{2}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$1 - x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

चरण 5.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 5.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 5.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 5.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 - (2 x)$

चरण 5.1.3.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$0 - 2 x$

चरण 5.1.4

$0$ में से $2 x$ घटाएं.

$- 2 x$

चरण 5.2

$x$ के लिए $u = 1 - x^{2}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 1 - 0^{2}$

चरण 5.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{lower} = 1 - 0$

चरण 5.3.1.2

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 1 + 0$

चरण 5.3.2

$1$ और $0$ जोड़ें.

$u_{lower} = 1$

चरण 5.4

$x$ के लिए $u = 1 - x^{2}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 1 - {(\frac{1}{2})}^{2}$

चरण 5.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1.1

उत्पाद नियम को $\frac{1}{2}$ पर लागू करें.

$u_{upper} = 1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}$

चरण 5.5.1.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{2^{2}}$

चरण 5.5.1.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{4}$

चरण 5.5.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$u_{upper} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

चरण 5.5.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$u_{upper} = \frac{4 - 1}{4}$

चरण 5.5.4

$4$ में से $1$ घटाएं.

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

चरण 5.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

चरण 5.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

चरण 6.2

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{1}^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

चरण 6.3

$2$ को $\sqrt{u}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{1}^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

चरण 7

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

चरण 8

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

चरण 9

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

चरण 9.2

$u^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

चरण 9.3

घातांक को ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

चरण 9.3.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

चरण 9.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 10

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 u^{\frac{1}{2}}$ है.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{\frac{3}{4}}$

चरण 11

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$\frac{1}{2}$ पर और $0$ पर $\arccos (x) x$ का मान ज्ञात करें.

$(\arccos (\frac{1}{2}) \frac{1}{2}) - \arccos (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{\frac{3}{4}}$

चरण 11.2

$\frac{3}{4}$ पर और $1$ पर $2 u^{\frac{1}{2}}$ का मान ज्ञात करें.

$(\arccos (\frac{1}{2}) \frac{1}{2}) - \arccos (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

चरण 11.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \arccos (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

चरण 11.3.2

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} + 0 \arccos (0) - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

चरण 11.3.3

$0$ को $\arccos (0)$ से गुणा करें.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} + 0 - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

चरण 11.3.4

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

चरण 11.3.5

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1)$

चरण 11.3.6

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$

चरण 11.3.7

$- \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2) \cdot \frac{2}{2}$

चरण 11.3.8

$- \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} + \frac{- \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2) \cdot 2}{2}$

चरण 11.3.9

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2) \cdot 2}{2}$

चरण 11.3.10

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) - 2 (\frac{1}{2}) (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

चरण 11.3.11

$- 2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{- 2}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

चरण 11.3.12

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.12.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{2 \cdot - 1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

चरण 11.3.12.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.12.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

चरण 11.3.12.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

चरण 11.3.12.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{- 1}{1} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

चरण 11.3.12.2.4

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) - (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

चरण 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ का सटीक मान $\frac{π}{3}$ है.

$\frac{\frac{π}{3} - (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

चरण 12.1.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.2.1

उत्पाद नियम को $\frac{3}{4}$ पर लागू करें.

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}} - 2)}{2}$

चरण 12.1.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.2.2.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 2)}{2}$

चरण 12.1.2.2.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - 2)}{2}$

चरण 12.1.2.2.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.2.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - 2)}{2}$

चरण 12.1.2.2.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{1}} - 2)}{2}$

चरण 12.1.2.2.4

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2} - 2)}{2}$

चरण 12.1.2.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2} - 2)}{2}$

चरण 12.1.2.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\frac{π}{3} - (3^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

चरण 12.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{\frac{π}{3} - 3^{\frac{1}{2}} - - 2}{2}$

चरण 12.1.4

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{π}{3} - 3^{\frac{1}{2}} + 2}{2}$

चरण 12.1.5

$- 3^{\frac{1}{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{π}{3} - 3^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3} + 2}{2}$

चरण 12.1.6

$- 3^{\frac{1}{2}}$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{π}{3} + \frac{- 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} + 2}{2}$

चरण 12.1.7

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} + 2}{2}$

चरण 12.1.8

घातांक जोड़कर $3^{\frac{1}{2}}$ को $3$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.8.1

$3$ ले जाएं.

$\frac{\frac{π - (3 \cdot 3^{\frac{1}{2}})}{3} + 2}{2}$

चरण 12.1.8.2

$3$ को $3^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.8.2.1

$3$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\frac{π - (3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{2}})}{3} + 2}{2}$

चरण 12.1.8.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\frac{π - 3^{1 + \frac{1}{2}}}{3} + 2}{2}$

चरण 12.1.8.3

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{3} + 2}{2}$

चरण 12.1.8.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{2 + 1}{2}}}{3} + 2}{2}$

चरण 12.1.8.5

$2$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}}}{3} + 2}{2}$

चरण 12.1.9

$2$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}}{2}$

चरण 12.1.10

$2$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}}{2}$

चरण 12.1.11

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 3}{3}}{2}$

चरण 12.1.12

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3}}{2}$

चरण 12.2

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3} \cdot \frac{1}{2}$

चरण 12.3

$\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3} \cdot \frac{1}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1

$\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3 \cdot 2}$

चरण 12.3.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{6}$

चरण 13

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{6}$

दशमलव रूप:

$0.65757337 \dots$