कैलकुलस उदाहरण

$y = {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{3}$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = a + \frac{b}{x^{2}}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $a + \frac{b}{x^{2}}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [a + \frac{b}{x^{2}}]$

चरण 1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [a + \frac{b}{x^{2}}]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $a + \frac{b}{x^{2}}$ से बदलें.

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [a + \frac{b}{x^{2}}]$

चरण 2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $a + \frac{b}{x^{2}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}]$ है.

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}])$

चरण 2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $a$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $a$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}])$

चरण 2.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}]$ जोड़ें.

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}]$

चरण 2.4

चूंकि $b$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{b}{x^{2}}$ का व्युत्पन्न $b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ है.

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}])$

चरण 2.5

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

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चरण 2.5.1

$\frac{1}{x^{2}}$ को ${(x^{2})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}])$

चरण 2.5.2

घातांक को ${(x^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}])$

चरण 2.5.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{d}{d x} [x^{- 2}])$

चरण 2.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 2$ है.

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b (- 2 x^{- 3}))$

चरण 2.7

$- 2$ को $3$ से गुणा करें.

$- 6 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b (x^{- 3}))$

चरण 3

सरल करें.

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चरण 3.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 6 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{1}{x^{3}})$

चरण 3.2

पदों को मिलाएं.

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चरण 3.2.1

$b$ और $\frac{1}{x^{3}}$ को मिलाएं.

$- 6 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} \frac{b}{x^{3}}$

चरण 3.2.2

$\frac{b}{x^{3}}$ और $- 6$ को मिलाएं.

$\frac{b \cdot - 6}{x^{3}} {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}$

चरण 3.2.3

$\frac{b \cdot - 6}{x^{3}}$ और ${(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{b \cdot - 6 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

चरण 3.2.4

$- 6$ को $b$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{- 6 \cdot b {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

चरण 3.2.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{6 b {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

चरण 3.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$a$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ से गुणा करें.

$- \frac{6 b {(\frac{a x^{2}}{x^{2}} + \frac{b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

चरण 3.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{6 b {(\frac{a x^{2} + b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

चरण 3.3.3

उत्पाद नियम को $\frac{a x^{2} + b}{x^{2}}$ पर लागू करें.

$- \frac{6 b \frac{{(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}}{x^{3}}$

चरण 3.3.4

प्रतिपादकों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.4.1

$6$ और $\frac{{(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$ को मिलाएं.

$- \frac{b \frac{6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}}{x^{3}}$

चरण 3.3.4.2

$b$ और $\frac{6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$ को मिलाएं.

$- \frac{\frac{b (6 {(a x^{2} + b)}^{2})}{{(x^{2})}^{2}}}{x^{3}}$

चरण 3.3.5

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$- \frac{\frac{b \cdot 6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}}{x^{3}}$

चरण 3.3.6

घातांक को ${(x^{2})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.6.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{b \cdot 6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{2 \cdot 2}}}{x^{3}}$

चरण 3.3.6.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{\frac{b \cdot 6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{4}}}{x^{3}}$

चरण 3.3.7

$6$ को $b$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{\frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{4}}}{x^{3}}$

चरण 3.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$- (\frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{4}} \cdot \frac{1}{x^{3}})$

चरण 3.5

जोड़ना.

$- \frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2} \cdot 1}{x^{4} x^{3}}$

चरण 3.6

घातांक जोड़कर $x^{4}$ को $x^{3}$ से गुणा करें.

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चरण 3.6.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2} \cdot 1}{x^{4 + 3}}$

चरण 3.6.2

$4$ और $3$ जोड़ें.

$- \frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2} \cdot 1}{x^{7}}$

चरण 3.7

$6 b {(a x^{2} + b)}^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{7}}$