कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$

चरण 1

अवकलन करें.

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चरण 1.1

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$ है.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

चरण 1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{x} + e^{- x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ है.

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

चरण 2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{1}{2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - x$ है.

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चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{2} (e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 4

अवकलन करें.

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चरण 4.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

चरण 4.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 4.3.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} \cdot - 1)$

चरण 4.3.2

$- 1$ को $e^{- x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{2} (e^{x} - 1 \cdot e^{- x})$

चरण 4.3.3

$- 1 e^{- x}$ को $- e^{- x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})$

चरण 5

सरल करें.

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चरण 5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} (- e^{- x})$

चरण 5.2

$\frac{1}{2}$ और $e^{- x}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} e^{x} - \frac{e^{- x}}{2}$

चरण 5.3

$\frac{1}{2}$ और $e^{x}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2}$