कैलकुलस उदाहरण

$\frac{x + 4}{(x - 1) (x + 3)}$

चरण 1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x + 4$ और $g (x) = (x - 1) (x + 3)$ है.

$\frac{(x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} [x + 4] - (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 3)]}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

चरण 2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

$\frac{(x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) - (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 3)]}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(x - 1) (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [4]) - (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 3)]}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

चरण 2.3

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(x - 1) (x + 3) (1 + 0) - (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 3)]}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

चरण 2.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(x - 1) (x + 3) \cdot 1 - (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 3)]}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

चरण 2.4.2

$x - 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 3)]}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

चरण 3

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x - 1$ और $g (x) = x + 3$ है.

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) ((x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3] + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

चरण 4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ है.

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) ((x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

चरण 4.2

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

चरण 4.3

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) ((x - 1) (1 + 0) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

चरण 4.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) ((x - 1) \cdot 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

चरण 4.4.2

$x - 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (x - 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

चरण 4.5

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (x - 1 + (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

चरण 4.6

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (x - 1 + (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

चरण 4.7

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (x - 1 + (x + 3) (1 + 0))}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

चरण 4.8

पदों को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.8.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (x - 1 + (x + 3) \cdot 1)}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

चरण 4.8.2

$x + 3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (x - 1 + x + 3)}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

चरण 4.8.3

$x$ और $x$ जोड़ें.

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (2 x - 1 + 3)}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

चरण 4.8.4

$- 1$ और $3$ जोड़ें.

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (2 x + 2)}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

उत्पाद नियम को $(x - 1) (x + 3)$ पर लागू करें.

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

चरण 5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(x - 1) (x + 3) + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

चरण 5.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.1

FOIL विधि का उपयोग करके $(x - 1) (x + 3)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x (x + 3) - 1 (x + 3) + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

चरण 5.3.1.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 3 - 1 (x + 3) + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

चरण 5.3.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3 + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

चरण 5.3.1.2

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.2.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} + x \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3 + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

चरण 5.3.1.2.1.2

$3$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{x^{2} + 3 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 3 + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

चरण 5.3.1.2.1.3

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} + 3 x - x - 1 \cdot 3 + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

चरण 5.3.1.2.1.4

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} + 3 x - x - 3 + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

चरण 5.3.1.2.2

$3 x$ में से $x$ घटाएं.

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

चरण 5.3.1.3

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 + (- x - 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

चरण 5.3.1.4

FOIL विधि का उपयोग करके $(- x - 4) (2 x + 2)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - x (2 x + 2) - 4 (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

चरण 5.3.1.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - x (2 x) - x \cdot 2 - 4 (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

चरण 5.3.1.4.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - x (2 x) - x \cdot 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

चरण 5.3.1.5

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.5.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

चरण 5.3.1.5.1.2

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.5.1.2.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

चरण 5.3.1.5.1.2.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

चरण 5.3.1.5.1.3

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - 2 x^{2} - x \cdot 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

चरण 5.3.1.5.1.4

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - 2 x^{2} - 2 x - 4 (2 x) - 4 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

चरण 5.3.1.5.1.5

$2$ को $- 4$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - 2 x^{2} - 2 x - 8 x - 4 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

चरण 5.3.1.5.1.6

$- 4$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - 2 x^{2} - 2 x - 8 x - 8}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

चरण 5.3.1.5.2

$- 2 x$ में से $8 x$ घटाएं.

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - 2 x^{2} - 10 x - 8}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

चरण 5.3.2

$x^{2}$ में से $2 x^{2}$ घटाएं.

$\frac{- x^{2} + 2 x - 3 - 10 x - 8}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

चरण 5.3.3

$2 x$ में से $10 x$ घटाएं.

$\frac{- x^{2} - 8 x - 3 - 8}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

चरण 5.3.4

$- 3$ में से $8$ घटाएं.

$\frac{- x^{2} - 8 x - 11}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

चरण 5.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{- x^{2} - 8 x - 11}{{(x + 3)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

चरण 5.5

$- x^{2}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (x^{2}) - 8 x - 11}{{(x + 3)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

चरण 5.6

$- 8 x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (x^{2}) - (8 x) - 11}{{(x + 3)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

चरण 5.7

$- (x^{2}) - (8 x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (x^{2} + 8 x) - 11}{{(x + 3)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

चरण 5.8

$- 11$ को $- 1 (11)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- (x^{2} + 8 x) - 1 (11)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

चरण 5.9

$- (x^{2} + 8 x) - 1 (11)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (x^{2} + 8 x + 11)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

चरण 5.10

$- (x^{2} + 8 x + 11)$ को $- 1 (x^{2} + 8 x + 11)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (x^{2} + 8 x + 11)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

चरण 5.11

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{x^{2} + 8 x + 11}{{(x + 3)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$