कैलकुलस उदाहरण

$\int x \sqrt{1 + x} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = 1 + x$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = 1 + x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$1 + x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 + 1$

चरण 1.1.5

$0$ और $1$ जोड़ें.

$1$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int (u - 1) \sqrt{u} d u$

चरण 2

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int (u - 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 3

$(u - 1) u^{\frac{1}{2}}$ का प्रसार करें.

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चरण 3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int u \cdot u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 3.2

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int u^{1} u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 3.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int u^{1 + \frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 3.4

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\int u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 3.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\int u^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 3.6

$2$ और $1$ जोड़ें.

$\int u^{\frac{3}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 4

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{3}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ है.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C + \int - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 6

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C - \int u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 7

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C - (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

चरण 8

सरल करें.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 9

$u$ की सभी घटनाओं को $1 + x$ से बदलें.

$\frac{2}{5} {(1 + x)}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} {(1 + x)}^{\frac{3}{2}} + C$