कैलकुलस उदाहरण

$y = \sin (x)$ , $y = 5 x$ , $x = \frac{π}{2}$ , $x = π$

चरण 1

वक्रों के बीच प्रतिच्छेदन ज्ञात करने के लिए प्रतिस्थापन द्वारा हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

प्रत्येक समीकरण के बराबर पक्षों का विलोप करें और संयोजित करें.

$\sin (x) = 5 x$

चरण 1.2

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को ग्राफ करें. हल प्रतिच्छेदन बिंदु का x-मान है.

$x = 0$

चरण 1.3

$y$ का मूल्यांकन करें जब $x = 0$ हो.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$0$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = 5 (0)$

चरण 1.3.2

$0$ को $x$ के लिए $y = 5 (0)$ में प्रतिस्थापित करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = 5 (0)$

चरण 1.3.2.2

$5$ को $0$ से गुणा करें.

$y = 0$

चरण 1.4

सिस्टम का हल क्रमित युग्म का पूरा सेट है जो मान्य हल हैं.

$(0, 0)$

चरण 2

वक्रों के बीच के क्षेत्र के क्षेत्रफल को ऊपरी वक्र के अवकलन से निचले वक्र के अवकलन को घटाने के रूप में परिभाषित किया जाता है. क्षेत्रों का निर्धारण वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं द्वारा किया जाता है. यह बीजगणितीय या आलेखीय रूप से किया जा सकता है.

$A r e a = \int_{\frac{π}{2}}^{π} 5 x d x - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (x) d x$

चरण 3

$\frac{π}{2}$ और $π$ के बीच के क्षेत्र को पता करने के लिए समेकित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समाकलन को एकल समाकलन में जोड़ें.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} 5 x - (\sin (x)) d x$

चरण 3.2

$- 1$ को $\sin (x)$ से गुणा करें.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} 5 x - \sin (x) d x$

चरण 3.3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} 5 x d x + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

चरण 3.4

चूँकि $5$ बटे $x$ अचर है, $5$ को समाकलन से हटा दें.

$5 \int_{\frac{π}{2}}^{π} x d x + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

चरण 3.5

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{2}}^{π}) + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

चरण 3.6

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{\frac{π}{2}}^{π}) + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

चरण 3.7

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{\frac{π}{2}}^{π}) - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (x) d x$

चरण 3.8

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का इंटीग्रल $- \cos (x)$ है.

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{\frac{π}{2}}^{π}) - (- \cos (x)]_{\frac{π}{2}}^{π})$

चरण 3.9

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.1

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.1.1

$π$ पर और $\frac{π}{2}$ पर $\frac{x^{2}}{2}$ का मान ज्ञात करें.

$5 ((\frac{π^{2}}{2}) - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - (- \cos (x)]_{\frac{π}{2}}^{π})$

चरण 3.9.1.2

$π$ पर और $\frac{π}{2}$ पर $- \cos (x)$ का मान ज्ञात करें.

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$

चरण 3.9.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.2.1

$\cos (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $0$ है.

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - (- \cos (π) + 0)$

चरण 3.9.2.2

$- \cos (π)$ और $0$ जोड़ें.

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - - \cos (π)$

चरण 3.9.2.3

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) + 1 \cos (π)$

चरण 3.9.2.4

$\cos (π)$ को $1$ से गुणा करें.

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) + \cos (π)$

चरण 3.9.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.3.1.1

उत्पाद नियम को $\frac{π}{2}$ पर लागू करें.

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{\frac{π^{2}}{2^{2}}}{2}) + \cos (π)$

चरण 3.9.3.1.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{\frac{π^{2}}{4}}{2}) + \cos (π)$

चरण 3.9.3.2

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$5 (\frac{π^{2}}{2} - (\frac{π^{2}}{4} \cdot \frac{1}{2})) + \cos (π)$

चरण 3.9.3.3

जोड़ना.

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2} \cdot 1}{4 \cdot 2}) + \cos (π)$

चरण 3.9.3.4

$π^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2}}{4 \cdot 2}) + \cos (π)$

चरण 3.9.3.5

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2}}{8}) + \cos (π)$

चरण 3.9.3.6

$\frac{π^{2}}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$5 (\frac{π^{2}}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π^{2}}{8}) + \cos (π)$

चरण 3.9.3.7

प्रत्येक व्यंजक को $8$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.3.7.1

$\frac{π^{2}}{2}$ को $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$5 (\frac{π^{2} \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{π^{2}}{8}) + \cos (π)$

चरण 3.9.3.7.2

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$5 (\frac{π^{2} \cdot 4}{8} - \frac{π^{2}}{8}) + \cos (π)$

चरण 3.9.3.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$5 \frac{π^{2} \cdot 4 - π^{2}}{8} + \cos (π)$

चरण 3.9.3.9

$4$ को $π^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$5 \frac{4 \cdot π^{2} - π^{2}}{8} + \cos (π)$

चरण 3.9.3.10

$4 π^{2}$ में से $π^{2}$ घटाएं.

$5 \frac{3 π^{2}}{8} + \cos (π)$

चरण 3.9.3.11

$5 \frac{3 π^{2}}{8}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.3.11.1

$5$ और $\frac{3 π^{2}}{8}$ को मिलाएं.

$\frac{5 (3 π^{2})}{8} + \cos (π)$

चरण 3.9.3.11.2

$3$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{15 π^{2}}{8} + \cos (π)$

चरण 3.10

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.10.1

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.

$\frac{15 π^{2}}{8} - \cos (0)$

चरण 3.10.2

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{15 π^{2}}{8} - 1 \cdot 1$

चरण 3.10.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{15 π^{2}}{8} - 1$

चरण 4