कैलकुलस उदाहरण

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{1 + {(\frac{i}{n})}^{2}}$

चरण 1

योग को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

उत्पाद नियम को $\frac{i}{n}$ पर लागू करें.

$\frac{1}{1 + \frac{i^{2}}{n^{2}}}$

चरण 1.1.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{1}{\frac{n^{2}}{n^{2}} + \frac{i^{2}}{n^{2}}}$

चरण 1.1.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{\frac{n^{2} + i^{2}}{n^{2}}}$

चरण 1.2

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$1 \frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$

चरण 1.3

$\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$

चरण 1.4

योग को फिर से लिखें.

$\frac{1}{n \sum_{i = 1}^{n} \frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}}$

चरण 2

एक स्थिरांक के योग का सूत्र है:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

चरण 3

मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सामने वाले शब्द से गुणा करना सुनिश्चित करें.

$(\frac{1}{n}) ((\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}) (n))$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$n$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$(\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}) (n)$ में से $n$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{n} (n ((\frac{n}{n^{2} + i^{2}}) n))$

चरण 4.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{n} (n ((\frac{n}{n^{2} + i^{2}}) n))$

चरण 4.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$(\frac{n}{n^{2} + i^{2}}) n$

चरण 4.2

$\frac{n}{n^{2} + i^{2}}$ और $n$ को मिलाएं.

$\frac{n \cdot n}{n^{2} + i^{2}}$

चरण 4.3

$n$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{n^{1} n}{n^{2} + i^{2}}$

चरण 4.4

$n$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{n^{1} n^{1}}{n^{2} + i^{2}}$

चरण 4.5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{n^{1 + 1}}{n^{2} + i^{2}}$

चरण 4.6

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$

चरण 4.7

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1

$i^{2}$ को $- 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{n^{2}}{n^{2} - 1}$

चरण 4.7.2

$n^{2} - 1$ को गुणनखंड रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.2.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{n^{2}}{n^{2} - 1^{2}}$

चरण 4.7.2.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = n$ और $b = 1$ .

$\frac{n^{2}}{(n + 1) (n - 1)}$