कैलकुलस उदाहरण

$\ln (2 e^{t} - 1)$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = \ln (t)$ और $g (t) = 2 e^{t} - 1$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 e^{t} - 1$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]$

चरण 1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 e^{t} - 1$ से बदलें.

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]$

चरण 2

अवकलन करें.

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चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $2 e^{t} - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [2 e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ है.

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (\frac{d}{d t} [2 e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

चरण 2.2

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 e^{t}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [e^{t}]$ है.

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 \frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

चरण 3

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ $a^{t} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t} + \frac{d}{d t} [- 1])$

चरण 4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

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चरण 4.1

चूंकि $t$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t} + 0)$

चरण 4.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

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चरण 4.2.1

$2 e^{t}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t})$

चरण 4.2.2

$2$ और $\frac{1}{2 e^{t} - 1}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{2 e^{t} - 1} e^{t}$

चरण 4.2.3

$\frac{2}{2 e^{t} - 1}$ और $e^{t}$ को मिलाएं.

$\frac{2 e^{t}}{2 e^{t} - 1}$