कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to 0^{+}} {(\frac{1}{x})}^{x}$

चरण 1

सीमा को सरल करने के लिए लघुगणक के गुणों का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

${(\frac{1}{x})}^{x}$ को $e^{\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})}$ के रूप में फिर से लिखें.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})}$

चरण 1.2

$x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})$ का प्रसार करें.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (\frac{1}{x})}$

चरण 2

सीमा को घातांक में ले जाएँ.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\frac{1}{x})}$

चरण 3

$x \ln (\frac{1}{x})$ को $\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}}$

चरण 4

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\frac{1}{x})}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

चरण 4.1.2

जैसे ही लघुगणक अनंत की ओर एप्रोच करता है, मान $\infty$ हो जाता है.

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

चरण 4.1.3

चूँकि न्यूमेरेटर एक स्थिरांक है और भाजक $0$ की ओर एप्रोच करता है, जब $x$ दाईं ओर से $0$ की ओर एप्रोच करता है, तो भिन्न $\frac{1}{x}$ अनंत की ओर एप्रोच करता है.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

चरण 4.1.4

अनंत से विभाजित अनंत परिणाम अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

चरण 4.2

चूंकि $\frac{\infty}{\infty}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

चरण 4.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 4.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = \frac{1}{x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{1}{x}$ के रूप में सेट करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 4.3.2.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 4.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{1}{x}$ से बदलें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 4.3.3

$\frac{1}{x}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 4.3.4

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 4.3.5

$\frac{1}{x}$ को $x^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 4.3.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 1 x^{- 2}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 4.3.7

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x^{1} x^{- 2}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 4.3.8

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x^{1 - 2}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 4.3.9

$1$ में से $2$ घटाएं.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x^{- 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 4.3.10

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 4.3.11

$\frac{1}{x}$ को $x^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

चरण 4.3.12

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x}}{- x^{- 2}}}$

चरण 4.3.13

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

चरण 4.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{1}{x} \cdot - 1 x^{2}}$

चरण 4.5

गुणनखंडों को जोड़े.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} 1 \frac{1}{x} x^{2}}$

चरण 4.5.2

$\frac{1}{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} x^{2}}$

चरण 4.5.3

$\frac{1}{x}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{x}}$

चरण 4.6

$x^{2}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x}}$

चरण 4.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x^{1}}}$

चरण 4.6.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}$

चरण 4.6.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}$

चरण 4.6.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{1}}$

चरण 4.6.2.5

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x}$

चरण 5

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$e^{0}$

चरण 6

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$1$