कैलकुलस उदाहरण

$\int (x^{3} + x) \sqrt{x^{4} + 2 x^{2}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = x^{4} + 2 x^{2}$ .फिर $d u = (4 x^{3} + 4 x) d x$ , तो $\frac{1}{4} d u = (x^{3} + x) d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = x^{4} + 2 x^{2}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$x^{4} + 2 x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x^{2}]$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

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चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{4} + 2 x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 1.1.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x^{2}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$4 x^{3} + 2 (2 x)$

चरण 1.1.3.3

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$4 x^{3} + 4 x$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \sqrt{u} \frac{1}{4} d u$

चरण 2

$\sqrt{u}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$\int \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} \int \sqrt{u} d u$

चरण 4

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

चरण 6

सरल करें.

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चरण 6.1

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ को $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$\frac{1}{4}$ को $\frac{2}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{4 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 6.2.2

$4$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{2}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 6.2.3

$2$ और $12$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (1)}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 6.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.2.1

$12$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 6.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 6.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 7

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{4} + 2 x^{2}$ से बदलें.

$\frac{1}{6} {(x^{4} + 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$