कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{1} \frac{2 \arctan (x)}{1 + x^{2}} d x$

चरण 1

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int_{0}^{1} \frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}} d x$

चरण 2

मान लीजिए $u = \arctan (x)$ .फिर $d u = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$ , तो $- d u = \frac{- 1}{x^{2} + 1} d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u = \arctan (x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$\arctan (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

चरण 2.1.2

$x$ के संबंध में $\arctan (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{1 + x^{2}}$ है.

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

चरण 2.1.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{x^{2} + 1}$

चरण 2.1.4

पदों को पुनर्व्यवस्थित करें.

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

चरण 2.2

$x$ के लिए $u = \arctan (x)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \arctan (0)$

चरण 2.3

$\arctan (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$u_{lower} = 0$

चरण 2.4

$x$ के लिए $u = \arctan (x)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \arctan (1)$

चरण 2.5

$\arctan (1)$ का सटीक मान $\frac{π}{4}$ है.

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

चरण 2.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

चरण 2.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} u d u$

चरण 3

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u$ का समाकलन $\frac{1}{2} u^{2}$ है.

$2 (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{\frac{π}{4}})$

चरण 4

$\frac{1}{2}$ और $u^{2}$ को मिलाएं.

$2 (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}})$

चरण 5

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{π}{4}$ पर और $0$ पर $\frac{u^{2}}{2}$ का मान ज्ञात करें.

$2 ((\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

चरण 5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{0}{2})$

चरण 5.2.2

$0$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$0$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

चरण 5.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

चरण 5.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

चरण 5.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{0}{1})$

चरण 5.2.2.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - 0)$

चरण 5.2.3

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} + 0)$

चरण 5.2.4

$\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}$ और $0$ जोड़ें.

$2 \frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}$

चरण 6.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

${(\frac{π}{4})}^{2}$

चरण 6.2

उत्पाद नियम को $\frac{π}{4}$ पर लागू करें.

$\frac{π^{2}}{4^{2}}$

चरण 6.3

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{π^{2}}{16}$

चरण 7

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{π^{2}}{16}$

दशमलव रूप:

$0.61685027 \dots$