कैलकुलस उदाहरण

$\int_{- \frac{π}{2}}^{- \frac{π}{4}} - 2 \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

चरण 1

चूँकि $- 2$ बटे $x$ अचर है, $- 2$ को समाकलन से हटा दें.

$- 2 \int_{- \frac{π}{2}}^{- \frac{π}{4}} \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

चरण 2

मान लीजिए $u = \csc (x)$ .फिर $d u = - \cot (x) \csc (x) d x$ , तो $\frac{1}{- \cot (x) \csc (x)} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u = \csc (x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$\csc (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\csc (x)]$

चरण 2.1.2

$x$ के संबंध में $\csc (x)$ का व्युत्पन्न $- \csc (x) \cot (x)$ है.

$- \csc (x) \cot (x)$

चरण 2.1.3

$- \csc (x) \cot (x)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$- \cot (x) \csc (x)$

चरण 2.2

$x$ के लिए $u = \csc (x)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \csc (- \frac{π}{2})$

चरण 2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$2 π$ का पूरा घुमाव तब तक जोड़ें जब तक कि कोण $0$ से बड़ा या उसके बराबर और $2 π$ से कम न हो जाए.

$u_{lower} = \csc (\frac{3 π}{2})$

चरण 2.3.2

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि चौथे चतुर्थांश में व्युत्क्रमज्या ऋणात्मक है.

$u_{lower} = - \csc (\frac{π}{2})$

चरण 2.3.3

$\csc (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

चरण 2.3.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{lower} = - 1$

चरण 2.4

$x$ के लिए $u = \csc (x)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \csc (- \frac{π}{4})$

चरण 2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$u_{upper} = \csc (\frac{7 π}{4})$

चरण 2.5.2

$u_{upper} = - \csc (\frac{π}{4})$

चरण 2.5.3

$\csc (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\sqrt{2}$ है.

$u_{upper} = - \sqrt{2}$

चरण 2.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - \sqrt{2}$

चरण 2.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$- 2 \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} - 1 u d u$

चरण 3

$- 1 u$ को $- u$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 2 \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} - u d u$

चरण 4

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- 2 (- \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} u d u)$

चरण 5

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$2 \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} u d u$

चरण 6

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u$ का समाकलन $\frac{1}{2} u^{2}$ है.

$2 (\frac{1}{2} u^{2}]_{- 1}^{- \sqrt{2}})$

चरण 7

$\frac{1}{2}$ और $u^{2}$ को मिलाएं.

$2 (\frac{u^{2}}{2}]_{- 1}^{- \sqrt{2}})$

चरण 8

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$- \sqrt{2}$ पर और $- 1$ पर $\frac{u^{2}}{2}$ का मान ज्ञात करें.

$2 ((\frac{{(- \sqrt{2})}^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

चरण 8.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$- \sqrt{2}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$2 (\frac{{(- (\sqrt{2}))}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

चरण 8.2.2

उत्पाद नियम को $- (\sqrt{2})$ पर लागू करें.

$2 (\frac{{(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

चरण 8.2.3

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 (\frac{1 {\sqrt{2}}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

चरण 8.2.4

${\sqrt{2}}^{2}$ को $2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.4.1

$\sqrt{2}$ को $2^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$2 (\frac{1 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

चरण 8.2.4.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{1 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

चरण 8.2.4.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$2 (\frac{1 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

चरण 8.2.4.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.4.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 (\frac{1 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

चरण 8.2.4.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 (\frac{1 \cdot 2^{1}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

चरण 8.2.4.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$2 (\frac{1 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

चरण 8.2.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

चरण 8.2.6

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

चरण 8.2.6.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 (1 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

चरण 8.2.7

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 (1 - \frac{1}{2})$

चरण 8.2.8

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

चरण 8.2.9

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 \frac{2 - 1}{2}$

चरण 8.2.10

$2$ में से $1$ घटाएं.

$2 (\frac{1}{2})$

चरण 8.2.11

$2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{2}$

चरण 8.2.12

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.12.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2}{2}$

चरण 8.2.12.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1$