कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) \sqrt{1 + \sin (x)} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = 1 + \sin (x)$ .फिर $d u = \cos (x) d x$ , तो $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = 1 + \sin (x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$1 + \sin (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + \sin (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 1.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 1.1.3

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$0 + \cos (x)$

चरण 1.1.4

$0$ और $\cos (x)$ जोड़ें.

$\cos (x)$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = 1 + \sin (x)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 1 + \sin (0)$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$u_{lower} = 1 + 0$

चरण 1.3.2

$1$ और $0$ जोड़ें.

$u_{lower} = 1$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = 1 + \sin (x)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 1 + \sin (\frac{π}{2})$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$u_{upper} = 1 + 1$

चरण 1.5.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$u_{upper} = 2$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{1}^{2} \sqrt{u} d u$

चरण 2

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 3

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2}$

चरण 4

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$2$ पर और $1$ पर $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 4.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$\frac{2}{3}$ और $2^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 4.2.2

घातांक जोड़कर $2$ को $2^{\frac{3}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$2$ को $2^{\frac{3}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1.1

$2$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 4.2.2.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 4.2.2.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 4.2.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 4.2.2.4

$2$ और $3$ जोड़ें.

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 4.2.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

चरण 4.2.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

चरण 4.2.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$

चरण 5

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$

दशमलव रूप:

$1.21895141 \dots$