कैलकुलस उदाहरण

$\frac{y}{y^{2} + x^{2}}$

चरण 1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

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चरण 1.1

चूंकि $y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{y}{y^{2} + x^{2}}$ का व्युत्पन्न $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2} + x^{2}}]$ है.

$y \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2} + x^{2}}]$

चरण 1.2

$\frac{1}{y^{2} + x^{2}}$ को ${(y^{2} + x^{2})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y \frac{d}{d x} [{(y^{2} + x^{2})}^{- 1}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 1}$ और $g (x) = y^{2} + x^{2}$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y^{2} + x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [y^{2} + x^{2}])$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [y^{2} + x^{2}])$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y^{2} + x^{2}$ से बदलें.

$y (- {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [y^{2} + x^{2}])$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $y^{2} + x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$y (- {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

चरण 3.2

चूंकि $x$ के संबंध में $y^{2}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $y^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$y (- {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

चरण 3.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ जोड़ें.

$y (- {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$y (- {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} (2 x))$

चरण 3.5

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y (- 2 {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} x)$

चरण 4

सरल करें.

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चरण 4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$y (- 2 \frac{1}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}} x)$

चरण 4.2

पदों को मिलाएं.

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चरण 4.2.1

$- 2$ और $\frac{1}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$ को मिलाएं.

$y (\frac{- 2}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}} x)$

चरण 4.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y (- \frac{2}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}} x)$

चरण 4.2.3

$x$ और $\frac{2}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$ को मिलाएं.

$y (- \frac{x \cdot 2}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}})$

चरण 4.2.4

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y (- \frac{2 \cdot x}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}})$

चरण 4.2.5

$y$ और $\frac{2 x}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$ को मिलाएं.

$- \frac{y (2 x)}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

चरण 4.2.6

$2$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{2 y x}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$